Differentialinvarianten der Raumcurven bei der Gruppe der Bewegungen. 679 



Sie stellt nichts anderes dar als das Quadrat des Di/f er entialquotienten 

 ans dem Krümmungsradius r und der Bogenlänge s: 



Endlich ist auch; 



ds V t 





eine Lösung. Es ist dies das Quadrat der Torsion r der Raumcurve: 





Dass diese Grössen in der That die angegebene geometrische Be- 

 deutung haben, erkennt man, wenn man sie ausrechnet, indem man 

 etwa für den Augenblick X mit der Bogenlänge identificiert. Wir sind 

 hier naturgemäss gerade auf diese für die Curventheorie so wichtigen 

 Ausdrücke geführt worden, und zwar haben wir ihre Werte aus- 

 gedrückt durch die Differentialquotienten der Coordinaten nach einer 

 heliebigen Hülfsvariabeln l, während man sonst wenigstens die Torsion 

 nur mit Benutzung der Bogenlänge als unabhängiger Veränderlicher 

 zu berechnen pflegt. 



Aus dem Bisherigen ergiebt sich, dass jede Differentialinvariaute 

 von höchstens dritter Ordnung einer Raumcurve gegenüber der Gruppe 



der Bewegungen der Ebene eine Function von r, 3- und r ist. Da 



z. B. auch der Radius der Schmiegungskugel eine Differentialinvariante 

 ist, denn er ändert sich nicht bei einer Bewegung, und zwar eine 

 Differentialinvariaute dritter Ordnung, weil die Schmiegungskugel durch 

 vier consecutive Punkte der Curve bestimmt ist, so folgt hieraus, dass 



der Radius der Schmiegungskugel eine Function von r, ^ und t allein 



ist. In der That kennt man eine solche Beziehung. Wir können nun 

 aber sehen, dass wir im wesentlichen auch alle höheren Differential- 

 invarianten der Curve gefunden haben. Dies erkennen wir so: 



Zunächst können wir abzählen, wie viele Differentialinvarianten An^^»" der 

 es überhaupt giebt. Wir hätten nämlich die Differentialinvarianten in iivariunten. 

 allerdings weniger symmetrischer Weise auch dadurch bilden können, 

 dass wir y und als Functionen von x betrachteten und die Incre- 

 mente der Differentialquotienten von y und z nach x mit hinzu- 

 nahmen, denn unsere Differentialinvarianten sind die, welche von der 



