Differential 

 Parameter. 



680 Kapitel 22, § 2. 



Wahl der unabhängigen Veränderlichen X unabhängig sind, d. h. welche 

 nur die Differentialquotienten der Coordinaten untereinander enthalten. 

 Gehen wir dabei bis zu den w*«'» Differentialquotienten, so erhalten wir 

 aus den 6 infinitesimalen Transformationen der Gruppe ein 6-gliedriges 

 vollständiges System in 3 + 2n Veränderlichen. Es besitzt 3-f-2w — 6, 

 also 2w — 3 von einander unabhängige Lösungen. 



Wir erkennen somit, wenn wir nun zu unserer Fassung der Auf- 

 gabe zurückkehren: Es giebt gerade 2w — 3 von einander unl,bhängige 



Differentialinvarianten in x, y, ^; x, y, /; a;W, 2/^~), z^^), die von 



der Wahl des Parameters unabhängig sind. Für w = 3 haben wir 

 drei, nämlich die oben gefundenen r, ^, t. Bei Hinzunahme der 

 höheren Differential quotienten treten mit jedem Schritt zwei Invarian- 

 ten hinzu. Wir können nun leicht ein Mittel zu ihrer Berechnung 

 finden. 



Wir suchen zu dem Zweck Differentialparameter. Wir fragen also 

 nach einer Function ß der Veränderlichen, des Differentialquotienten 

 und von 9), (p, tp" derart, dass, wenn qp irgend eine Differential- 

 invariante bezeichnet, auch ß eine solche ist. Es ist, wie wir oben 

 sahen, 



Bei einer infinitesimalen Transformation der Gruppe der Bewegungen 

 ist ^A = 0. Ferner soll 9) eine Invariante, also dg? = sein. Daher 

 kommt auch ^95'= 0. Ferner ist stets: 



und hieraus folgt, dass auch ^9"= ist, u. s. w. Mithin ergiebt sich 

 zunächst, da die Function ß bei den infinitesimalen Transformationen 

 der Gruppe, wenn diese durch Hinzunahme der Transformationen der 

 Differentialquotienten und von 9?, 9p', tp" . . . erweitert werden, invariant 

 bleiben muss, dass il eine beliebige Function der w,-^ und von tp, 9', cp". . . 

 ist. Aber Sl soll ferner von der Wahl des Parameters X unabhängig 

 sein. Um die hieraus folgenden Bedingungen abzuleiten, setzen wir 

 wie oben unter (8): 



dx = dy = S0 = O, dX = a{X)dt, 



sodass wieder die Relationen (11) für die dco/k bestehen. Ferner folgt 

 dann aus (10), da dg? = sein soll, dass 



