Differentialinvarianten der Raumcurven bei der Gruppe der Bewegungen. 681 



Sq)' = — aq)'dt, 



d(p" = — (a" g)' -\- 2 a q)")8t, 



dqp"'= — {a"cp' -\- 3a"(p"-\- Saq)'")dt 



ist. Nullsetzen des Incrementes von Si giebt also 

 (13) 



> -^. w-, a(p — ^-^ {a (p -\- 2a(p ) 



rr [pc q) -\- da (p -\-6acp ) — •• = U. 



Wir haben hieraus ü zu bestimmen. Zunächst wollen wir annehmen, 

 der gesuchte Differentialparameter enthalte von x, y, und cp keine 

 höheren als die ersten Differentialquotienten. Dann haben wir nach 

 (11) folgende Gleichung zu betrachten: 



2a 03,1 K \- aw ^— r = U. 



awu ' ^ d(p 



a lässt sich streichen, und "wir finden, dass ß eine Function von 



allein ist. Bei unserer Raumcurve ist nun, wenn s die Bogenlänge 

 bedeutet : 



sodass wir 



schreiben können. Dieser Differentialparameter lehrt also: Sobald cp 



eine Invariante ist, ist auch -ß- eine Invariante. 



' ds 



Wir sehen: Ist q) eine Invariante n^^^ Ordnung, so ist offenbar. 



-T^ eine von n -j- 1*" Ordnung. Nun kennen wir die Invariante zweiter 



dr 

 Ordnung r sowie die beiden Invarianten dritter Ordnung -7- und t. 



Es sind also 



d'r dt 

 ds*' ds 



Invarianten vierter Ordnung, ebenso 



d^r dH 

 dV^' ds* 



Invarianten fünfter Ordnung u. s. w. Offenbar sind sie auch sämtlich 

 von einander unabhängig. Nach unserer obigen Abzahlung kennen 



