682 Kapitel 22, § 2. 



Remehiste ^^^ ^^^^ auch alle Differentialinvarianten. Die allgemeinste von der 

 ^in^T^i^i^l'.^^^^ ^^^ Parameters unabhängige Differentialinvariante ist mithin eine 

 beliebige Function von 



dr d^r d^r 

 ^' ds' d^' d7^'''' 



dt d^T 



^' Ts' ds^'"' 



Wir hätten sie auch durch Integration der Gleichungen finden können, 

 die aus den obigen Af=0, Bf=0, Cf=0 hervorgehen, wenn die 

 Incremente der höheren (oa mit berücksichtigt werden. Die Glei- 

 chungen werden aber alsdann sehr compliciert. Man sieht also, wie 

 ausserordentlich sich die Benutzung des DiflFerentialparameters ^(p 

 bewährt. 



gei^eiiiator ^^^ könueu nuu auch den allgemeinsten Bifferentialparameter auf- 



""pframetet stellen. Offenbar nämlich ist auch " 



ein Differentialparameter, denn, wenn tp eine Invariante ist, so ist z/^ 

 auch eine, daher auch z/^g). Entsprechend ist /l^cp ^ JJ/Jcp eine 

 Invariante u. s. w. Nun können wir die obige Gleichung (13) allge- 

 mein integrieren. Sie wird erfüllt durch die gefundenen Differential- 

 invarianten sowie durch die Differentialparameter 



^d(p, ^^(p, ^^cp • • '. 



Die Gleichung (13) zerfällt, da sie für alle Functionen a(A) bestehen 

 soll, in eine ganze Reihe von Gleichungen, die offenbar sämtlich von 

 einander unabhängig sind. Gehen wir bis zu der zu aW gehörigen 

 und suchen wir solche Sl, die keine höheren als die w*^^ Differential- 

 quotienten von X, y, 0, g) enthalten, so liegen gerade n von einander 

 .unabhängige Gleichungen vor, die ein w-gliedriges vollständiges System 

 bilden*) in den Veränderlichen 



«ii G),2 «22, 

 ^13 ^23 ^33 > 



G>l?i G)2n Ö3nj 



qo (p . . . (p 



in) 



*) Würden sie kein solches bilden, so würden sie noch weniger gemeinsame 

 Lösungen besitzen. Da aber gerade die für ein vollständiges System hinreichende 

 Anzahl von Lösungen vorhanden ist, wie sich zeigt, so kann man daraus schliessen, 

 dass wir es in der That mit einem vollständigen System zu thun haben. Eine ana- 

 loge Bemerkung gilt an anderen Stellen des Textes. 



