DifFerentialinvarianten der Raumcurven bei der Grnppe der Bewegungen. 683 



d. h. in 3w — 3 -f- « + 1 = 4w — 2 Veränderlichen. Es besitzt also 

 4w — 2 — w = 3w — 2 von einander unabhängige Lösungen. Solche 

 sind aber die 2n — 3 Invarianten sowie q) und die n Differential- 

 parameter ^(p, z/^g) . . z/(")9). Dies sind gerade 3n — 2. Wählen wir 

 n beliebig hoch, so ergiebt sich folglich: Der allgemeinste Differential- 

 parameter ist eine beliebige Function von 



g), ^(p, ^'^qy, ^V • ■ ■• 



Man sieht hieraus, dass unsere Gruppe nur einen wesentlichen ^^^V"^^' 

 Differentialparameter /Iw besitzt. Denn wenn /Icp ein Differential-^^^^'"''^*^''!- 



^ ' puramoter. 



Parameter ist, so ist von vornherein klar, dass jede Function von den 

 Differentialinvarianten, von gj, z/qo, z/^g? . . ., auch ein Differential- 

 parameter ist. 



Die Ergebnisse haben eine grosse Bedeutung für die Theorie der 

 Raumcurven. Wir werden sehen, dass für das Problem der Überführ- 

 barkeit von Raumcurven in einander vermöge einer Bewegung, d. h. für 

 das Problem der Congruenz von Raumcurven nur die drei Differential- 

 invarianten r, Y' ^ßd T in betracht kommen (sobald sie nicht ihren 



Sinn verlieren), da alle anderen Differentialinvarianten Functionen von 

 diesen und ihren Differential quotienten nach s sind. 



Wir wollen nun die Aquivalenztheorie für Raumcurven zunächst 

 weniger methodisch angreifen, indem wir uns auf solche Curven be- 

 schränken, hei denen die von uns hetrachfeten Differentialinvarianten einen 

 Sinn haben. Dass es Curven giebt, bei denen dies nicht der Fall ist, 

 und wie man alle diese Curven finden sowie ihre Aquivalenztheorie 

 entwickeln kann, zeigen wir erst im nächsten Paragraphen. Unsere 

 jetzigen Betrachtungen sollen nur vorläufig orientieren. 



Wir schicken dabei einen Satz voraus, von dem wir einen Special- 

 fall schon als Satz 7 in § 1 des 12. Kap. gegeben haben: 



Satz 1: Gestattet ein Gebilde q von einander unabhängige m^wi^e- Ausführung 

 simale Transformationen einer r-gliedrigen Gruppe, so nimmt es bei Aus- oiuer 

 führung aller Transformationen, der Gruppe genau <x>''~i verschiedene auf oiu 



j-x 1/ Gebilde. 



Lagen an, und umgekehrt. 



Ein Gebilde F nehme nämlich bei der r-gliedrigen Gruppe gerade 

 oor — <i verschiedene Lagen F' an. Alle F' bilden alsdann eine in- 

 variante Mannigfaltigkeit. Jedes F' wird bei den cx>'' Transformationen 



