684 Kapitel 22, § 2. 



der Gruppe in nur c»'— « Lagen übergeführt, daher bei je oo'i Trans- 

 formationen Ta, Tb, Tc der Gruppe in dieselbe Lage F". Alle ooä 

 Transformationen T^Tr^^^T^Ta-^. .. führen F' in sich über. Offenbar 

 thun dies keine anderen, da sonst F' weniger als oo'"— « Lagen insge- 

 samt erhielte. Jene oo? Transformationen der Gruppe, die F' in Ruhe 

 lassen, bilden natürlich eine Untergruppe mit paarweis inversen Trans- 

 formationen, die von g infinitesimalen Transformationen erzeugt wird. 

 Mithin gestattet jedes F\ insbesondere auch F, genau g von einander 

 unabhängige infinitesimale Transformationen der Gruppe. 



Wir werden den Satz, den wir in speciellerer Form schon öfters 

 verwertet haben, für die Raumcurven benutzen. — 



Sollen zwei Raumcurven einander congruent sein, so werden 

 jedenfalls die Difi*erentialinvarianten in entsprechenden Punkten beider 

 Curven gleiche Werte haben müssen. Dazu ist notwendig, dass ins- 

 besondere r, ^, r in einem Punkte der einen Curve dieselben Werte 



wie in dem entsprechenden Punkte der anderen haben. Nun ist von 

 vornherein nicht bekannt, wie sich die Punkte beider Curven ent- 

 sprechen. Wir können daher nur soviel sagen: Längs der einen Curve 



werden — und x mit r variieren, ebenso längs der anderen, wenn wir 



zunächst von dem Fall, dass r constant ist, ausdrücklich absehen. 



Längs der einen Curve werden also -^ und r gewisse Functionen von 



zunächst von dem Fall, dass r constant ist, ausdrücklich absehen. 



är 



ds 

 r sein: 



Belationen ^if 



zw. den — = f(r). t = ib(r). 



Differential- ds ' V /' V'V 7* 



invarianten. 



Soll die zweite Curve mit der ersten congruent sein, so müssen natür- 

 lich bei ihr genau dieselben Relationen bestehen. 



Nun aber können wir zeigen, dass umgekehrt eine Curve, längs 

 deren r nicht constant ist, dann und nur dann mit der ersten Curve 



congruent ist, wenn bei ihr -^ dieselbe Function f(r) von r und t 



dieselbe Function ^(r) von r ist wie bei der gegebeneu*). Denn 

 einerseits werden die beiden obigen Gleichungen sicher von allen 

 Curven erfüllt, die mit der gegebenen congruent sind. Andererseits 



*) Hoppe hat schöne Untersuchungen über die Curven angestellt, die durch 

 zwei Gleichungen von der Form 



definiert werden. Vgl. Crelle's Journal Bd. 60. 



