DiiFerentialinvarianten der Raumcurveu bei der Gruppe der Bewegungen. 685 



aber auch nicht von anderen Curven ausser diesen; und das sieht man 

 durch eine Abzahlung ein: Jene beiden Gleichungen stellen nämlich 

 zwei Differentialgleichungen dritter Ordnung zur Bestimmung von y 



und z als Functionen von x dar und drücken also -rK und ^-^ und 

 ebenso die höheren Differentialquotienten durch die niederen Differen- 

 tialquotienten aus. Wenn man also die 6 Werte von w, z, -^, -^ , v~i 



^' ' dx' dx' dx^ 

 d^z 

 und ^^g für einen bestimmten Wert Xq von x giebt, so sind auch die 



höheren Differentialquotienten für x = Xq gegeben und y und z werden 

 somit bestimmte Potenzreihen nach x — Xq. Es sind also die Functionen 

 y und z von x nur und gerade von 6 Constanten abhängig, d. h. es 

 giebt oo*^ verschiedene Curven, die unseren beiden Forderungen ge- 

 nügen. Es geht aber die erste betrachtete Curve nach Satz 1 bei 

 allen Transformationen der 6-gliedrigen Gruppe der Bewegungen in 

 gerade 00** verschiedene Lagen über, denn sonst müsste sie mindestens 

 eine infinitesimale Transformation der Gruppe gestatten, also längs ihr 

 jede Differentialinvariante einen constanten Wert haben und demnach 

 insbesondere gegen die Voraussetzung r constant sein. Die 00^ Inte- 

 gralcurven jener beiden Differentialgleichungen sind demnach gerade 

 die cx)*' mit der gegebenen Curve congruenten Curven. 



Betrachten wir ietzt zweitens eine Curve, längs deren r constant speciaifaii 



o • 1 • 1 /-1 ' o ^, ^ Const. 



ist. bie kann nur mit solchen Curven congruent sein, längs deren r 

 ebenfalls constant und zwar von derselben Grösse ist. Es ist dann 



längs der Curven die Differentialinvariante 3- = 0, ebenso ^-^ u. s. w., 

 ° ds ' ds^ ' 



sodass nur noch die Differentialinvarianten t, -7-, -r-^ u. s. w. als 



' ds' ds^ 



veränderlich längs der Curven übrig bleiben. Ist, wie wir zunächst 



ausdrücklich voraussetzen wollen, t nicht längs der Curven constant, 



so verfahren wir so: Sind zwei Curven einander congruent, bei denen 



r constant ist, so ändern sich t und j- längs der Curven, es wird 



dr . . . 



also T- bei beiden eine Function von r sein, und zwar bei beiden die- 

 selbe Function von r: 



Wenn umgekehrt bei zwei Curven r denselben constanten Wert a hat 



dx 

 und bei beiden zwischen -j- und der nicht constanten Torsion r dieselbe 



ds 



vorstehende Relation gilt, so sind beide Curven congruent. Um dies 



