686 Kapitel 22, §§ 2, 8. 



einzusehen, bemerken wir: Unsere Relation ist eine gewöhnliche 

 Differentialgleichung vierter Ordnung, die Gleichung r = a eine von 

 dritter Ordnung. Sie besitzen gerade oo« gemeinsame Integralcurven, 

 denn . = a bestimmt f^, durch f^, ^, g und die Gleichung für' 



Ts S'^^* cd ^^^ Function von ~ und den niederen Differentialquo- 

 tienten von y und ^ nach x. Wenn man also für x = Xq den 6 Grössen 

 ^' ^' dl' d^' dJ' rfj bestimmte Werte beilegt, so haben iür x = x, 

 auch alle übrigen Differentialquotienten bestimmte Werte, sodass y 

 und 8 bestimmte Potenzreihen nach x — x^ werden, die von 6 will- 

 kürlichen Constanten abhängen. Es giebt also genau cx)^ verschiedene 

 Raumcurven, bei denen r = a und ~ die gegebene Function f\x) ist. 

 Andererseits, da keine der Curven eine infinitesimale Bewegung ge- 

 stattet, weil sonst auch t constant wäre, so wird eine solche Curve 

 nach Satz 1 bei der Gruppe der Bewegungen in gerade oo^ Curven 

 übergeführt, die sämtlich die Relationen erfüllen, weil sie einander 

 congruent sind. Mithin geben unsere beiden Bedingungen in der That 

 gerade und nur oo^ einander congruente Curven. 



?=const! Drittens ist der Fall zu betrachten, dass r und r constant sind, 



t = CoDSt. J„ 7 



sodass alle übrigen Differentialinvarianten *--■■•, ^ • ■ ■ Null werden. 

 Sollen zwei Curven, bei denen r und t constant sind, einander con- 

 gruent sein, so muss r ebenso wie t bei beiden übereinstimmende 

 Werte haben. Dies reicht aber auch zur Cougruenz aus. In diesem 

 Falle nämlich sind beide Curven Schraubenlinien auf congruenten 

 Rotationscylindern mit gleicher Steigung. 



Wir heben schliesslich noch einmal ausdrücklich hervor, dass 

 diese vorläufigen Betrachtungen nicht erschöpfend sind, denn es kann 

 z. B. bei ein^r Curve sehr wohl vorkommen, dass die Differential- 

 invarianten ihren Sinn verlieren. Sie sind ja in Bruchform dargestellt, 

 sodass der Fall des Verschwindens der Nenner besonders zu unter- 

 suchen wäre. 



Wie wir nun vorzugehen haben, um sicher zu sein, auch alle 

 Möglichkeiten zu umfassen, wollen wir im nächsten Paragraphen zeigen. 



§ 3. Congruenzkriterien der Baumcurven. 



Wir beginnen die Betrachtung der Raumcurven von Neuem und 

 von einem anderen Punkte aus; 



