Congruenzkriterien der Raumcurven. 687 



Zunächst fassen wir irgend eine Curve ins Auge, die keine infmi- curvo. die 



7/ keine iiif. 



tesimale Bewegung gestattet. Sie nimmt dann nach Satz 1 des vorigen i^ewegung 



° gestattet, 



Paragraphen bei allen Transformationen der Gruppe gerade oo*^ ver- 

 schiedene Lagen an. Es existieren also in diesem Falle gerade oo" 

 Curven, die der betrachteten congruent sind. 



Sie werden durch Differentialgleichungen definiert, welche die 

 höheren Differentialquotienten von y und z nach x durch die niederen 

 ausdrücken. Wir fragen nun, durch wie viele Differentialgleichungen 

 sie definiert werden und von welcher Ordnung diese Differential- 

 gleichungen sind. Offenbar reicht eine Differentialgleichung nicht aus, 

 da es sich um die Bestimmung zweier Functionen y und z von x 

 handelt. Es sind also mindestens zwei Differentialgleichungen er- 

 forderlich, von denen eine nicht eine Folge der anderen sein darf. 

 Nehmen wir an, die niedrigsten von einander unabhängigen unter 

 diesen Differentialgleichungen, welche oo*^ Curven definieren, seien von 

 w*^' und w*" Ordnung, und es sei m^n. Die aus diesen beiden 

 Differentialgleichungen durch Differentiation nach x hervorgehenden 

 werden von der n*''° Ordnung an alle Differeutialquotienten von y und 

 z nach x durch die niederen bestimmen, während die erste mit 

 den aus ihr durch Differentiation- gebildeten etwa noch den m^'''^, 

 (ni + 1)*«^ . . . (n— ly^"" Differentialquotienten von z nach x liefert, 

 sodass also zunächst die (w -f- m) Grössen 



dy dl'-'^y dz d"'-^z 



yi dx' "'da;"~^' ^' ^Ä^ dx"'~^ 



durch keinerlei Relation gebunden sind. Käme nun aber noch eine 

 dritte Differentialgleichung von w*®' oder höherer Ordnung hinzu, so 

 würde sie Kelationen zwischen den n}^"^ und höheren Differeutialquo- 

 tienten herstellen. Führten diese nicht zu Relationen zwischen nie- 

 deren, so 'wäre die dritte Differentialgleichung überflüssig; führte sie 

 aber zu Relationen zwischen den oben angegebenen (n -j- m) Grössen, 

 so existierte gegen die Voraussetzung eine Differentialgleichung ausser 

 der von m^^^ Ordnung, die von niederer als w*" Ordnung wäre. 



Also wird unsere Curvenschar durch jene zwei Differential- 

 gleichungen allein definiert und es können die Werte jener obigen 

 {n -j- m) Grössen für x = Xq beliebig gewählt werden. Dadurch sind 

 aber alle übrigen Differentialquotienten mitgegeben, sodass y und z 

 als Potenzreihen nach x — Xq mit n -\- m willkürlichen Constanten 

 erscheinen. Weil es sich nun um gerade cx)*' Curven handelt, so muss 

 demnach 



