688 Kapitel 22, § 3. 



91 -\- m = 6 



sein. Da m'Cn ist, so sind folglich vier Möglichkeiten vorhanden:,^ 



Vier Fälle. a) Die oo^ Curven sind durch eine Differentialgleichung nullter 



Ordnung, d. h. eine Gleichung zwischen x, y, z allein, die eine Fläche 



darstellt, und durch eine Differentialgleichung 6*®' Ordnung definiert. 



b) Sie sind durch eine Differentialgleichung l*^'^ und eine 5*" Ord- 

 nung, 



c) durch eine 2*®' und eine 4*®"^ Ordnung, 



d) durch zwei Differentialgleichungen dritter Ordnung definiert. 

 Diesen vier Fällen entsprechen wesentlich verschiedene Arten von 



Curven, die wir nun nach einander zu untersuchen haben. Es ist 

 dabei zu bemerken, dass die Differentialgleichungenpaare, da sie jedes- 

 mal eine invariante Schar von oo^ Curven darstellen sollen, bei den 

 Transformationen invariant sein müssen, die aus denen der Gruppe 

 durch Erweiterung um die Transformationen der Diöerentialquotienten 

 hervorgehen. Um also diese Systeme von Differentialgleichungen auf- 

 zustellen, haben wir die bei den erweiterten infinitesimalen Transfor- 

 mationen der Gruppe invarianten Gleichungenpaare aufzusuchen. 



Invariante Dcuten wir X, y. z sowie die Differentialquotienten --, -;—•••, 



Paare von / ^ / ± ^^7 ^^ 7 



gieichungen.soweit wir sic braucheu, als Coordinaten der Punkte eines Raumes 

 von geeigneter Dimensionenzahl, so stellen die gesuchten Systeme von 

 Differentialgleichungen jedesmal eine invariante Mannigfaltigkeit in 

 diesem Räume gegenüber der erweiterten Gruppe dar. Wir haben 

 aber in Kap. 16 eine allgemeine Theorie zur Bestimmung aller dieser 

 invarianten Mannigfaltigkeiten entwickelt. Danach ergeben sie sich 

 durch Aufstellen von Relationen zwischen den Invarianten und durch 

 Nullsetzen aller Determinanten gleicher Reihenzahl der Matrix der er- 

 weiterten Gruppe. Diese Gleichungen wollen wir, soweit wir sie nach- 

 her gebrauchen, nunmehr entwickeln. 

 Wir wollen allgemein setzen 



Dann ist 

 also 



und analog 



dx dx 



dyn-1 — yndx = 0, 



^^V-. 1 d8x 



dSz^_^ dSx 



dZn ^ j Zn -1 — • 



dx dx 



