Congruenzkriterien der Raumcurven. 



689 



Hiernach berechnen sich die Incremente der Differentialquotienten bei 

 den infinitesimalen Transformationen der Gruppe der Bewegungen ohne 

 Mühe. Die einmal erweiterte Gruppe lautet: 



p q r . 



yp — xq — {l-{- y^^)q^ — y^z^r^ 

 zq—yr-\- ^iQi — y^r^ 



xr — zp-\- y^z.q, + (1 + z;')r^, 



df 



wenn q^ für ^ — und r^ .^x „ 



für 



gesetzt wird. 



Diese einmal erweiterte 



Gruppe besitzt, wie wir ja auch schon wissen, keine Invariante, weil 

 die fünfreihigen Determinanten der Matrix: 



nicht identisch Null sind, 

 zwischen x, y, z, y^, z^ 



Daher finden wir invariante Gleichungen 

 nur durch Null setzen aller Determinanten 

 gleicher Reihenzahl. Setzen wir alle fünfreihigen gleich Null. Eine 

 liefert gleich Null gesetzt*): 



1 + ^1^ + ^1^ = 0, 

 und man sieht, dass dann alle fünf anderen auch verschwinden, weil 

 sie den Ausdruck 1 + «/i^ + z^^ zum Factor haben. Die vierreihigen 

 Determinanten sind alsdann nicht sämtlich auch Null. Man erkennt, 

 dass überhaupt nicht alle vierreihigen Determinanten gleichzeitig Null 

 sein können. 



Erweitern wir die Gruppe zweimal, indem wir auch die Incre- 

 mente von y^ und z^ hinzunehmen, so erhalten wir eine Gruppe mit 

 der Matrix: 



*) Genau genommen würde noch zu untersuchen sein, ob nicht die Schar 

 X = Const., die durch die Wahl von x als unabliän<3;iger Veiänderlicher hier ver- 

 loren geht, invariant ist. Man sieht sofort, dass sie es nicht jst. 



Lie, Continuierliche Gruppon. 44 



