Congruenzkriterien der Raumcurven. 691 



die einer bei der Gruppe invarianten Fläche. Da eine solche nicht 

 existiert ausser der unendlich fernen Ebene, die wir, wie alle unend- 

 lich fernen Curven, hier ausser betracht lassen, so ist Fall a) un- 

 möglich. 



Im Fall b) handelt es sich um eine Differentialgleichung erster 

 und eine fünfter Ordnung. Als solche erster Ordnung ergiebt sich 

 nach Obigem nur diese: 



1 + 2/r + ^x^ = 0. 



Die fraglichen Curven sind demnach Minimalcurvm. 



Im Fall c) fragt es sich, welches invariante System von Differen- 

 tialgleichungen, deren eine von zweiter, deren andere von vierter Ord- 

 nung ist, existiert. Erstere Gleichung geht entweder durch Coustans- 

 Setzen der einzigen Invariante zweiter Ordnung 



r = Const. 

 hervor oder ist durch Nullsetzen der Determinanten zu bilden. Dies 

 liefert aber, wie bemerkt wurde, auf einmal mei Differentialgleichungen 

 zweiter Ordnung y^ = ^2 = 0, was nicht sein soll, oder aber eine 

 erster und eine zweiter 



1 + ^1' + ^1' = 0, y,y, + z,z^ = 0, 

 was ebenfalls ausgeschlossen ist. Es bleibt also nur die Annahme 



r = Const. 



Die hinzutretende Differentialgleichung vierter Ordnung macht sicher 

 nicht alle 6 -reihigen Determinanten der Matrix gleich Null, da Null- 

 setzen dieser stets y^ = s^ = Q ergiebt. Die fragliche Gleichung ist 

 daher eine Relation zwischen den Differentialinvarianten bis zur vierten 

 Ordnung: r, % % r,\\. Da aber ,• = Const. ist, also J-^ = 

 ""^ ds» "^ ^ ^^*' ®° bleiben nur x und ^^ • x ist nicht constant, denn 

 % = Const. gäbe eine Differentialgleichung dritter Ordnung. Mithin 

 lautet die gesuchte Gleichung vierter Ordnung 



Im Falle d) endlich handelt es sich um zwei Differeutial- 

 gleichnngen dritter Ordnung. Diese sind als Relationen zwischen den 



Differentialinvarianten bis zur dritten Ordnung r,^,xzu bilden, denn 



Nullsetzen der Determinanten würde ja Differentialgleichungen zweiter 

 Ordnung y,^ = z^ = ergeben. Da ferner r nicht constant ist, denn 



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