692 Kapitel 22, § 3. 



r = Const. ist eine DifiPerentialgleichung zweiter Ordnung, so bleibt 

 die Annahme: 



curve, die ^\^ kommen ietzt zu den Curven, die eine und nur eine infinite- 



exne inf. j 7 1 



^elta^u"^ sma?e Bewegung zulassen, daher nach Satz 1 des vorigen Paragraphen 

 bei der Gruppe gerade je oo^ verschiedene Lagen annehmen. Wir 

 finden, dass sie durch eine Differentialgleichung m*®' und eine n^^^ Ord- 

 nung {n ^ m) bestimmt werden, wobei 



m -\- n = b 



ist. Demnach liegen hier von vornherein drei Möglichkeiten vor: 



a) Die oo^ Curven werden durch eine endliche Gleichung und 

 eine Differentialgleichung ö*""^ Ordnung bestimmt, 



b) durch eine 1*" und eine 4*'^'" Ordnung, 



c) durch eine 2**^' und eine 3*^*^' Ordnung. 



Jedesmal sind die betreffenden Gleichungensysteme der erweiter- 

 ten Gruppe der Bewegungen invariant, da die Schar der oo'' Curven 

 bei der Gruppe der Bewegungen invariant ist. 



Fall a) ist wieder ausgeschlossen, da keine im Endlichen gelegene 

 invariante Fläche existiert. 



Im Fall "b) ist die Differentialgleichung erster Ordnung nach 

 Obigem die der Minimalcurven. 



Im Fall c) kann die Differentialgleichung zweiter Ordnung nur 

 durch Constans-Setzen der Differentialinvariante zweiter Ordnung r ge- 

 bildet werden, denn Nullsetzen aller 6 -reihigen Determinanten würde 

 ja entweder wieder die Differentialgleichung erster Ordnung der 

 Minimalcurven oder aber zwei Differentialgleichungen zweiter Ordnung 

 ^2 = ^2 = liefern, was beides nicht erlaubt ist. Wir haben somit 

 anzunehmen : 



r = Const. 



Dass wir die Differentialgleichung dritter Ordnung nicht durch Null- 

 setzen der Determinanten der Matrix erhalten, wissen wir schon. Des- 

 halb ist diese Gleichung eine Relation zwischen den Differential- 

 invarianten bis zur dritten Ordnung. Nun ist aber r = Const. und 



3- = 0, sodass als einzige Invariante nur t: 'übrig bleibt. Mithin ist auch 



t = Const. 

 ^'linion. Diese Curven sind Schraubenlinien. 



