Congruenzkriterien der Raumcurven. 693 



Wir kommen zu den Curven, die zwei infinitesimale Bewegungen ^^^^^^.<^i^ 

 gestatten, also nach Satz 1 des vorigen Paragraphen vermöge der Boweggu 

 Gruppe der Bewegungen gerade je oo'^ Lagen annehmen. Diese werden ^''''*"''* 

 durch eine Differentialgleichung m**"" und eine »*" Ordnung bestimmt, 

 wenn 



m -\- n == 4: 



ist. Es ergeben sich hier wieder drei Möglichkeiten: 



a) Die oo* Curven sind durch eine endliche Gleichung und eine 

 Differentialgleichung 4*^'" Ordnung bestimmt, 



b) durch eine l*^"" und eine S*«"" Ordnung, 



c) durch zwei Differentialgleichungen 2*°' Ordnung. 

 Fall a) ist wieder ausgeschlossen. 



Fall b) giebt wieder Minimalcurven. 



Im Fall c) können die beiden Differentialgleichungen zweiter Ord- 

 nung nicht durch Constans- Setzen von Differentialinvariauten hervor- 

 gehen, da es ja nur eine Differentialinvariante zweiter Ordnung giebt. 

 Es sind vielmehr alle 6 -reihigen Determinanten gleich Null zu setzen. 

 Dies giebt entweder den ausgeschlossenen Fall der Differentialgleichung 

 der Minimalcurven oder aber di^ beiden Differentiali^leichunsen 



mit der Nebenbedingung 



1 + 2/i' + ^i' N= 0, 



d. h. die Geraden des Raumes, die keine Minimalgeraden sind. Zwei 

 Geraden, die keine Minimalgeraden sind, sind also congruent, wie wir 

 schon wissen. 



Endlich mag eine Curve drei infinitesimale Bewegungen zulassen, catvc, die 

 Sie nimmt dann insgesamt oq^ verschiedene Lagen au. Diese werden läoweggn 

 durch eine Differentialgleichung erster und eine zweiter Ordnung ^°'''''"*'* 

 definiert werden, deren erste die der Minimalcurven ist. 



Also ergiebt sich, wenn wir alles zusammenfassen, der 

 Satz 2: Zwei Curven im Räume, die Jceine Minimalcurven sind Gesamt- 

 und bei denen r den Krümmungsradius, s die Bogenlänge, x die Torsion '"^*^'' "" 

 hemchne, sind dann und nur dann mit einander congrumt, wenn ent- 

 weder hei beiden dieselben Relationen: 



r = Const., p^=f{t) (r 4= Const.), 

 oder bei beiden dieselben Relationen: 



