694 Kapitel 22, §§ 3, 4. 



^ = /W' r^tPir) (r + Const.), 



oder beiden dieselben Relationen 



r = Const., T = Const. 

 bestehen, oder endlich beide Geraden sind. 



§ 4. Congruenzkriterien der Minimalcurven. 



Es bleibt nun nur noch die Untersuchung der Minimalcurven 

 übrig, die durch die Differentialgleichung 



1 + Vi' + ^i' = 

 oder 



(14) dx^ + dy^ -\- dz^ = 



definiert sind. Für sie verlieren die Differentialiuvarianten r, t u. s. w. 



ihre Bedeutung, wegen der Art, wie |/l + «/i^ + ^i^ ir^ ihnen auftritt. 

 Aber wir wissen auch, dass die Minimalcurven die einzigen sind, für 

 die wir noch eine Invariantentheorie zu entwickeln haben. Bisher hat 

 man eine solche Theorie noch nicht gegeben. Indem wir sie hier 

 aufstellen, fällen wir also eine wesentliche LücJce in der bisherigen 

 Krümmungstheorie der Raumcurven aus. Wir geben ja überhaupt, wie 

 nochmals betont werden möge, die Krümmungstheorie in einer solchen 

 Form, dass sie ebenso für die imaginären Curven wie für die reellen 

 Curven gilt. 



Wir könnten unter der Voraussetzung, dass 



1 + 2/i' + ^i' = 



und, wie durch nochmalige Differentiation folgt, 



u. s. w. gesetzt wird, also Relationen zwischen den Grössen y^, y.^- • -, 

 ^1, ^2 • • • hergestellt werden, die die Elimination der einen Hälfte der- 

 selben gestattet, die Invarianten der erweiterten Gruppe berechnen 

 und damit eine Congruenztheorie der Minimalcurven schaffen. Aber 

 diese Methode ist unbequem und nicht elegant. 

 Wir schlagen einen anderen Weg ein. 

 Gleichungen gg jg+ y^Qnn längs sincr Minimalcurve 



einer ' O 



Minimal- / \ o/ \ 



curve. X = a{S), «/ = ß{s) 



gesetzt und damit eine Grösse s als Hülfsveränderliche eingeführt 

 wird, wegen 



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