Congruenzkriterien der Minimalcurven. 695 



dz = ly dcif + dy'^ 

 auch 



Legendre bemerkte zuerst, dass man diese Formeln für beliebige 

 Minimalcurven durch andere ersetzen kann, die kein Integralzeichen, 

 sondern nur DifFerentiationszeichen enthalten. Enneper und Weier- 

 strass gaben alsdann diesen Formeln die zweckmässige Gestalt: 



j x = {l— s-)F"(s) + 2sF'{s) — 2F{s), 

 (15) iy = (1 + s')F"{s) - 2.F'{s) + 2Fis), 



I = 2sF"{s) -2F'(s), 



wobei allerdings zu bemerken ist, dass die Genannten nie explicite 

 über Minimalcurven reden und mit diesem Begriffe überhaupt nicht 

 operieren. Diese Formeln geben den allgemeinen Ausdruck für eine 

 beliebige Minimalcurve, wenn F irgend eine Function des Parameters 

 s bedeutet, — aber mit einer Ausnahme: Die Mimiivälgeraden sind in 

 dieser Form nicht mit inbegriffen. Es geht dies aus folgenden Be- 

 merkungen hervor: 



(16) 



Die Tangente der Curve (15) wird in Punkte (s) bestimmt durch 



dx 1 — s* dy ! + s"^ 



dz 2s ' dz 2is 



Wenn umgekehrt eine beliebige Minimalcurve vorliegt, die keine Ge- 



dx 

 dz 



rade ist, so kann angenommen w^erden, dass bei ihr -=— variiert. Es 



kann dann insbesondere -r- = — k — gesetzt werden, unter s eine 



dz 2s '" ' 



Hülfsveränderliche verstanden. Aus der Gleichung (14) folgt dann 



auch der vorstehende Wert von -^ ■ z wird längs der Curve eine 



dz " 



dz 

 Function von s sein, also auch dz. Indem man dann j- gleich einer 



Function 2t" (s) setzt, kommt man rückwärts zu den Formeln (15). 

 Bei einer M.\mimL\geraden jedoch ist diese Überlegung nicht richtig. 

 Somit sind in der Form (15) alle Minimalcurven mit Ausnahme der 

 Minimalgeraden dargestellt. 



Nun spielen bei unserem Problem die Minimaloeraden überhaupt Minimai- 



^ ^ X geraden. 



eine Ausnahmerolle. Die Minimalgeraden sind die Geraden nach dem 

 imaginären Kugelkreis. Eine Bewegung führt offenbar jede Minimal- 

 gerade wieder in eine solche über. Da die Gruppe der Bewegungen 

 die Punkte des Kugeikreises in allgemeinster Weise dreigliedrig unter 

 einander transformiert (vgl. das Beispiel S. 549 zu § 5 des 19. Kap.j, 



