CoDgrueuzkriterien der Minimalcurven. (597 



Schmiegungsebene (17) mit der benachbarten, d. h. die Minimalgerade, 

 welche die Minimalcurve (15) im Punkte (s) berührt, erfüllt die Glei- 

 chung (17) und die aus ihr durch Dififerentiation naph s hervorgehende 

 Gleichung 



sj + ist) - ä = 2F\s), 



ist also bekannt, wenn die Werte von s, F, F' bestimmt gegeben 

 sind. Daher sind s, F, F' als die Coordinaten einer Minimalgeradm Deutung 

 aufzufassen. Obgleich wir oben die Minimalgeraden für sich behandelt^""''"' '^ 

 haben, wollen wir daher später (S. 704) noch einmal darauf zurück- 

 kommen, indem wir s, F, F' als ihre Coordinaten auffassen. 



Stellt man zwischen s, F, F' zwei Relationen her, deren eine F 

 als Function von s definiert: 



F=-F{s), 

 während die andere lautet: 



so werden dadurch aus der Schar aller oo^ Minimalgeraden {s, F, F') 

 gerade solche oo^ herausgegriffen, die eine abwickelbare Fläche bilden, 

 deren Rückkehrkante die Minimalcurve (15) ist; und umgekehrt erhält 

 man so jede Minimalcurve, 



Nach diesen streng genommen für unser Problem nicht not- 

 wendigen, aber interessanten Deutungen der in die Gleichungen (15) 

 eingehenden Grössen s, F, F' kommen wir zur Entwickelung der 

 Theorie für die Congruenz von Minimalcurven. 



Die Gruppe der Bewegungen führt jede Minimalcurve wieder in 

 eine solche über, da sie ihre Differentialgleichung (14) invariant lässt. 

 Die Minimalcurve (15), deren Punktcoordinaten durch s, F{s) und die 

 Ableitungen ausgedrückt sind, wird also durch eine Bewegung wieder 

 in eine Minimalcurve übergeführt, deren Punktcoordinaten analog 

 durch Sj , F^ (sj und die Ableitungen ausgedrückt seien, s, F sind die 

 ■■ Coordinaten einer Tangentialebene des Kugelkreises. Die Bewegung 

 : führt sie wieder in eine Tangentialebene (s^, F^ des Kugelkreises 

 - über. Mithin sind s^ und F^{s^ gewisse Functionen von s, F{s). DaTrausforma- 

 k ferner s allein Coordinate eines Punktes des Kugelkreises ist, so ist '«^o» * «"^d /-- 

 \ Sj eine Function von s allein. Wir werden übrigens nachher direct 

 ^ verificieren, dass s^ nur von s, nicht auch von F abhängt. 



Zu jeder Transformation Ta der Gruppe der Bewegungen gehört 

 ™ hiernach eine Transformation T« von s und F. Diese bilden wieder 

 : eine Grup^ge und mit T^T, = T, ist auch T^T^ = T,. Beide Gruppen in'3- 



