700 Kapitel 22, § 4. 



Die drei infinitesimalen Rotationen liefern also die folgenden in- 

 finitesimalen Transformationen der gesuchten Gruppe in s, F: 



OS ' oF 



8^ .df ■ j.df 

 — « ö^ — isF -?^, 



2 "ds '"" dF 



2 ds'^ ^^ dF 



Damit ist die gesuchte Gruppe gefunden. Sie kann offenbar be- 

 quemer so geschrieben werden : 



(23) 



d£ df 2 df 



dF ^dF ^ dF 



ds ^ ds^ ^ dF ^ ds^ '^^■^ dF 



d^Miu/maf- Jeder Relation zwischen s und F entspricht eine Minimalcurve, 

 doTEbÜo. d^"^ durch eine solche Relation wird F als Function von s definiert, 

 für welche die Gleichungen (15) eine Minimalcurve liefern. Durch 

 Einführung der Bestimmungsgrössen s, F wird also jede Minimal- 

 curve des Raumes in eine Curve der Ebene mit den gewöhnlichen 

 Coordinaten s, F abgebildet. Zwei verschiedenen Minimalcurven ent- 

 sprechen zwei verschiedene Curven der Ebene, und umgekehrt. Führt 

 man auf die Minimalcurven alle Bewegungen aus, so entsprechen 

 diesen Transformationen in der Bildebene (s, F) die Transformationen 

 der soeben bestimmten Gruppe (23). Zwei Minimalcurven sind dann 

 und nur dann congruent, wenn ihre Bildcurven vermöge einer Trans- 

 formation der Gruppe (23) in einander überführbar sind. Dabei ist 

 jedoch von den Geraden s = Oonst. in der (s, i^)-Ebene ganz ab- 

 zusehen, denn sie besitzen keine Gleichung von der Form F == F{s). 

 Um die Äquivalenztheorie für die Curven bei der Gruppe (23) zu 

 "inv"dei''^"®'"'*^^^^®^°j haben wir zunächst die Dijferentialinvarianten dieser Gruppe 

 inT''^^. aufzustellen. Dazu erweitern wir die infinitesimalen Transformationen 

 der Gruppe um die Incremente, die F', F" . . . erfahren, indem wir 

 uns der bekannten Formel 



ds ds 



bedienen. Wir brauchen, da die Gruppe sechsgliedrig ist, die Er- 

 weiterung nach der zu Anfang des ersten Paragraphen vorausgeschick- 

 ten Bemerkung nur bis zu F^^ vorzunehmen. Die erweiterte Gruppe 

 lautet dann: 



