I 



Congruenzkriterien der Minimalcurven. 7()3 



Eine Minimalcurve wird durch eine Relation, die F als B\inction 

 von s ausdrückt, dargestellt. Gestattet sie keine infinitesimale Bewegung, Mmimai- 

 so nimmt sie nach Satz 1 des § 2 bei der Gruppe der Bewegungen '^^^l 

 gerade oo« verschiedene Lagen an, deren Gesamtheit bei der Gruppe in- «Sr 

 variant ist. Dasselbe gilt von den oo*^ Bildcurven in der (s, i^)-Ebene. 

 Sie erfüllen eine invariante Differentialgleichung sechster Ordnung, die 

 nach Obigem, da bei ihnen J^ nicht constant ist, weil J^ = Const.' nur 

 co'* Curven bestimmt, die Form haben muss 



Zwei Minimalcurven also, die keine infinitesimale Bewegung gestatten, 

 sind dann und nur dann congruent, wenn bei beiden Jg dieselbe Func- 

 tion von J5 ist. 



Gestattet eine Minimalcurve gerade eine infinitesimale Bewegung, so Minimai- 

 nimmt sie insgesamt bei der Gruppe der Bewegungen oo'"' verschiedene '-^^\^i- 

 Lagen an, nach Satz 1 des § 2. Der Inbegriff" dieser ist invariant, StT 

 entsprechend der Inbegriff" der 00^ Bildcurven in der (s, i^)-Ebene bei 

 unserer Gruppe (23). Diese oo^ Curven werden daher durch eine in- 

 variante Differentialgleichung fünfter Ordnung definiert, die nach Obigem 

 notwendig die Form hat: 



«/s = Const. 



Für diese Curven ist J^ ee5 0, denn es ist allgemein *) 



T _ 1 dJ^ 

 Uq = --— — ^ . 



F"'^ ds 



Zwei Minimalcurven also, die gerade eine infinitesimale Bewegung zu- 

 lassen, sind dann und nur dann congruent, wenn bei beiden J^ den- 

 selben Constanten Wert besitzt. 



Gestattete eine Minimalcurve gerade zwei infinitesimale Bewequnaen '^'i"im=i"- 



.. ij.j-p,., , if j ) cuivü, die 



so wurden die 00* Bildcurven der 00^ Minimalcurven, in die sie nach ''^^"^ "'<" 

 Satz 1 des § 2 bei der Gruppe der Bewegungen übergehen müsste, ffe«Vau"e"!^ 

 durch eine bei der Gruppe (23) invariante Differentialgleichung vierter 

 Ordnung bestimmt. Da es aber eine solche nicht giebt, so folgt: Es 

 giebt keine Minimalcurve, die zwei und nur zwei von einander unab- 

 hängige infinitesimale Bewegungen zulässt. 



*) Bei dieser Gelegenheit bemerken wir, dass wir uns die Aufsuchung von 

 Jq hätten ersparen können. Sobald man nämlich drei invariante Differential- 

 gleichungen kennt, kann man nach einem Satze von Lie eine Differentialinvariante 

 ohne jede Integration finden. Hier kennen wir schon die drei invarianten Differen- 



dJ, 



ds 

 erwähnten Satze J^ ohne Integration ableiten. 



tialgleichungen F'" = 0, J^ = und -^^ = 0. Aus ihnen lässt sich nach dem 



