704 Kapitel 22, § 4. 



Liesse endlich eine Minimalcurve gerade drei infinitesimale Be- 

 wegungen zu, so würden wir durch dasselbe Raisonnement auf die 

 Differentialgleichung 



F"'=0 

 geführt, aus der folgt: 



F^^a -\- bs -\- cs^, 



wenn a, h, c Constanten bedeuten. Diese Function F aber giebt, in 

 (15) eingesetzt, x == Consi, y = Const., 2 == Const,, d. h. keine Curven, 

 sondern die Punkte des Raumes, die bei der Definition der Minimal- 

 curven als Rückkehrkanten der Developpabeln, die den Kugelkreis ent- 

 halten, zu den Minimalcurven gehören. Dass die Punkte des Raumes 

 eine invariante Schar bilden, ist allerdings trivial. 



Weitere Fälle kommen nun nicht in Betracht, da es keine nie- 

 deren invarianten Difi'erentialgleichungen giebt. Wir haben also ge- 

 funden : 

 (iesamt- Theoiein 41: Setist man, wenn F die Function F(s) in den 



crgeonis. ' ^ ^ 



allgemeinen Gleichungen 



x = {\ — s')F"{s) + 2sl^"(s) — 2i^(s), 

 iy={\Jr s')F'\s) - 2sF\s) + 2F(s), 

 z = 2sF"{s) — 2F\s) 



einer Minimalcurve bedeutet, 



J. 



5 p""i 



F'"^ ds 



^G = ^ f 



SO sind zwei Minimalcurven dann und nur dann einander con- 

 gruent, wenn 



entweder bei beiden dieselbe Relation 



Je — <p{Jh) = (^5 =1= Const.) 

 besteht 



oder bei beiden J5 denselben constanten Wert hat. 



Zwei Minimalgeraden sind einander stets congruent. 



Andere Was die Minimalgeraden anbetrifft, so wollen wir noch bemerken: 



üehandlung __ ... 



der Wir können, wie wir auseinandersetzten, s, F, F'' als die Coordinaten 



Minimal- ' . 



geraden, dicscr oo^ Geraden auffassen. Diese Coordinaten werden bei der 

 Gruppe der Bewegungen durch die einmal erweiterte Gruppe (23), 

 nämlich durch die Gruppe 



