Congruenzkriterien der Minimalcurven. 705 



dF *aF"T" dF' * cF'^^^dF' 



ds 





unter einander transformiert. Man zeigt sofort, dass diese Gruppe in 

 s, F, F' zwei Wertsysteme (s, F, F') stets ineinander überzuführen 

 vermag. Damit wäre ein zweiter Beweis dafür erbracht, dass die 

 Minimalcurven sämtlich congruent sind. 



Noch Einiges möge über die in Theorem 41 ebenfalls als Aus- 

 nahme auftretende Classe von Minimalcurven gesagt werden, für die ^c^^^^" 

 Jr, constant ist. Wir integrieren die Differentialgleichung /, = cou3t. 



(24) J, = 8c 



oder 



(24') 4i^"'i^v _ 5i^^' = 8 cF"^ 



zunächst unter der besonderen Annahme c = 0. Im Fall c == lässt 

 sie sich so schreiben: 



F^ . F 



IV 



4 ^ — 5 -— = 



und daher sofort integrieren. Es kommt: 



also 



F'" 4 = Const. s 4- Const., 



^=^V^ + ^^' + ^^ + <^ (« + 0), 



wenn a, h, A, B, C die Integrationsconstanten sind. Setzen wir 

 diesen Wert F in die Gleichungen (15) der Minimalcurven ein, so 



ergeben sich, wenn man schliesslich , . als Parameter t einführt, 



° ' as -\- 



die oo'* einander congruenten Curven: 



, x = — 6t + Ghf + 2(a2 ^ V)f + 2(yl — C), 

 (25) Uy = -\-6t —6bf-i- 2{a' + h')f-{-2{Ä-\-C), 

 1^=4- Qaf — 4aht^ — 2B, 



also Curven dritter Ordnung. Man kann übrigens zeigen, dass dies 

 alle Minimalcurven dritter Ordnung sind. 



Im Falle c 4= führt die Integration der Differentialgleichung (24) 3*^"^ ordn 

 oder (24') zu einem wesentlich anderen Ergebnis. Zunächst lässt sich 



Lio, Continuierliche Gruppen. 4a 



Minimal- 

 curven 



