708 Kapitel 22, §§ 4, 5. 



Minimdlcurve an der betreffenden Stelle (s) vier consecutive Punkte ge- 

 mein hat*). 



Die Stellen der Minimaleurve, an denen Jg = ist, sind singulär. 

 Daselbst giebt es keine dreifach berührende Minimal -Schraubenlinie, 

 sondern eine dreifach berührende Minimalcurve 3. Ordnung. 



Betrachten wir schliesslich fünf consecutive Punkte einer Minimal- 

 curve, Durch die vier ersten geht ein Rotationscylinder mit dem 

 Radius r, durch die vier letzten ein solcher mit dem Radius r + dr. 

 Die Axen beider seien unter dem Winkel dd- zu einander o-eneio-t 

 Offenbar ändert — sich nicht bei Ausführung einer Bewegung, dies 

 ist also eine Differentialinvariante. Zu ihrer Bestimmung sind fünf con- 

 secutive Curvenpunkte nötig, die sich nach (15) durch Sq,Fq,F'.F^^ 



ausdrücken. Daher ist — eine Differentialinvariante sechster Ordnung 

 Be„u„.g in s und F, also eine Function von J^ oder r und J,. Mithin ist J, 

 eine gewisse Function von r und —• Auf ihre nähere Bestimmung 

 gehen wir nicht weiter ein. 



Ausbiic'ke. . ^^6 Ergebnisse dieses Paragraphen sind auch für gewisse reelle Ge- 

 bilde practisch wichtig. 



Einerseits Dämlich lassen sich nach einem Theorem von Lie aus jeder 

 Minimalcurve oo'* einander congruente durch Translation in einander über- 

 führbare reelle Minimälflächen ableiten. Umgekehrt erhält man so alle 

 reellen Minimälflächen. Jede Bewegung einer Minimalcurve giebt somit 

 eine (unendlich vieldeutige) reelle Transformation der reellen Minimal- 

 flächen. 



Wenn man andererseits jeden Punkt {x, y, £) des Raumes durch 

 emen Kreis in der {x, 2/) -Ebene mit dem Eadius iz ersetzt, so geben die 

 Bewegungen des Raumes alle Berührungstransformationen in der Ebene, 

 die Kreise in Kreise und parallele Geraden in parallele Geraden über- 

 führen. Bei dieser Abbildung giebt jede Minimalcurve eine Schar von 

 Kreisen, ^ deren Umhüllende eine sogenannte Eiclitungscurve ist. Mit dem 

 Obigen ist also ein wichtiges Äquivalenzproblem für diese Richtungscurven 

 gelöst. 



Endlich machen wir noch darauf aufmerksam, dass man in ent- 

 sprechender Weise, wie wir es hier gethan haben, die Theorie der Äquiva- 

 lenz der Minimalcurven gegenüber der allgemeinen zehngliedrigen Gruppe 

 von conformen Punkitransformationen behandeln kann. Alsdann tritt an 

 die Stelle der oben benutzten Gruppe m s, F eine Gruppe in 5, F, F'. 

 Deutet man s, F wieder als Punktcoordinaten in der Ebene, so wird dies 

 die allgemeine zehngliedrige Gruppe von Berührungstransformationen in 

 der Ebene (vgl. Lie, Theorie der Transformationsgruppen, zweiter Abschnitt, 



*) Diese geometrische Deutung hat Scheffers gegeben. • 



