CoDgruenztheorie der Flächen. 709 



bearb. u. Mitw. v. Engel, Theorem 77, S. 460). Es lassen sich ganz ent- 

 sprechend ihre Differentialinvarianten aufstellen und Äquivalenzkriterien ent- 

 wickeln. 



Wir gehen aber hier auf alle diese weiteren Probleme nicht ein. 



§ 5. Congruenztlieorie der Flächen. 



Weniger ausführlich, aber doch in allem wesentlichen vollständig 

 wollen wir nunmehr das Problem der Congruenz der Flächen be- 

 handeln. Wir bedürfen dabei wieder der Differentialinvarianten der 

 Gruppe der Bewegungen, aber jetzt sind dies andere Differential- 

 invarianten als früher. 



Da wir nämlich nicht mehr Curven, sondern Flächen betrachtend"^''"*"""« 



. ' der Gruppe 



wollen, so haben wir etwa z als Function von x und y zu betrachten*^- i-o^eggu. 

 und die Gruppe der Bewegungen um die Transformationen zu er- 

 weitern, welche die partiellen Differentialquotienten von z nach x und 

 y bei ihr erfahren. Setzen wir allgemein 



cz cz 



c^z d°z c^^z 



dx^ ' dxcy ' dy- ' 



so erhalten wir die Incremente, welche ^j, q u. s. w. bei den infinite- 

 simalen Bewegungen erfahren, in dieser Weise: Es ist 



dz ^E^pdx -{- qdy, 

 also ^ 



(28) ddz EEE dp -dx-^- dq- dy + i^d^x + qddy. 



Bei einer infinitesimalen Bewegung sind dx, dy, dz bekannte Func- 

 tionen von X, y, 0. Vorstehende Gleichung zerfällt also, da immer 

 dz'^pdx -j- qdy zu setzen ist, in zwei einzelne, da sie für alle Werte 

 von dx, dy identisch bestehen muss. Sie liefert also Ö2) und dq. 

 Analog erhalten wir aus den Formeln 



dp ^ rdx 4" sdy, dq i^i sdx -(- tdy 

 diese: 



{ddp ^E dr ■ dx -\- ds ■ dy -f- rddx + sddy, 



\ddq E^ ds • dx -\- dt • dy -{- sddx -\- tddy 



und hieraus die Incremente von r, s, t u. s. w. Wir verzichten darauf, 

 die Ausrechnung anzugeben. Durch Hinzufügung der Incremente der 

 p, q, r, s, t u. s. w. zu den infinitesimalen Bewegungen und Nullsetzen 



