710 Kapitel 22, § 5. 



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ihrer Symbole ergiebt sicli ein vollständiges System, dessen Lösungen 

 fn^arianien^^^ gesuclitcn Differentialmvarianten sind. Wir wollen ancehmen/die 

 infinitesimale Bewegung 



liabe durch die Erweiterung die Form erhalten: 



{i= l, 2 ..6). 



Die unabhängigen Veränderlichen des vollständigen Systems sind 

 ^7 2/> ^} P, q., r, s, t.... Da die sechsreihigen Determinanten der 

 Matrix 



(30) 



'ni li ^i üi Qi Gi Xi 



i= 1, 2..6 



nicht identisch verschwinden, so ist das System gerade sechsgliedrig 

 und besitzt 8 — 6 = 2 von einander unabhängige Lösungen, die keine 

 höheren als die zweiten Differentialquotienten von z enthalten. Diese 

 Lösungen können als die bekannten Ausdrücke der Krümmungsradien 

 i?i und ^2 einer Fläche gewählt werden, denn es ist klar, dass diese 

 bei jeder Bewegung invariant bleiben. Ferner giebt es 12 — 6 = 6 

 Differentialinvarianten dritter Ordnung. B^ und 1\ sind selbst welche. 

 Ausser ihnen giebt es also noch vier. Man kann einsehen, dass es 

 die Ausdrücke 



dB^ cB^ dB^ dB* 



CS, ' ds^ ' ds, > ä^ 



sind, wenn ds^, ds^ die Bogenelemente der Krümmuugslinien in einem 

 Flächenpunkte mit den Krümmungsradien B^ und R^ sind. Nun kann 

 es allerdings vorkommen, dass diese Ausdrücke der Differential- 

 mvarianten bei gewissen Flächen ihren Sinn verlieren. Aber es 

 existiert doch jedenfalls die gefundene Anzahl von Differentialinvarian- 

 ten, mögen sie auch unter Umständen nicht die angegebene geome- 

 trische Deutung besitzen. 



Wir wollen die Differentialiuvarianten dritter Ordnung kurz mit 

 "^17 ^2; J-A, Ji bezeichnen. Relationen zwischen den Differential- 

 mvarianten stellen stets invariante Differentialgleichungen dar. 



Endlich bemerken wir noch, dass sich durch Nullsetzen aller 

 sechsreihigen Determinanten der Matrix (30) sowie der bis zu höheren 



