Congiuenztbeorie der Flächen. 711 



Differentialquotieuten reichenden Matriceu gewisse einzeln invariante 

 Gleichungensysteme ergeben werden*). 



Wir gehen nach diesen Vorbemerkungen an unser Problem der 

 Cougruenz von Flüchen. 



Führen wir auf eine Fläche alle Bewegungen aus, so geht sie in 

 höchstens oo*' verschiedene Flächen über. Nach Satz 1, § 2 dieses 

 Kap., geht sie in gerade oo*^"" verschiedene Flächen über, wenn sie 

 gerade n von einander unabhängige infinitesimale Bewegungen zulässt. 



Alle Flächen, in die eine Fläche bei der Gruppe der Bewegungen 

 übergeht, bilden eine bei der Gruppe invariante Schar. Sie wird 

 durch ein System von partiellen Differentialgleichungen zwischen 2 

 und X, y definiert sein, und dieses System bleibt invariant gegenüber 

 der Gruppe der Bewegungen. 



Genügen die Flächen der Differentialgleichung congruentcr 



Fläcbou. 



Sl{x, y, z, p, q, r, s, t...) = 0, 



so genügen sie auch allen aus dieser durch partielle DiÖerentiation 

 nach X und y hervorgehenden Differentialgleichungen. Wir können 

 uns daher alle Differentialgleichungen, denen unsere Flächenschar ge- 

 nügt, so geordnet denken, dass partielle Difii'erentiation einer derselben 

 nach X oder y immer nur nachfolgende Differentialgleichungen giebt. 

 Bei dieser Anordnung werden einige von den niederen Differeatial- 

 quotienten von z {z mit inbegriffen) durch keine Relation verknüpft 

 sein. Doch müssen alle Differentialquotienten durch höchstens G der- 

 selben ausgedrückt sein. Denn wir können uns die Lösung z des 

 Systems von Differentialgleichungen nach Potenzen von x, y etwa ent- 

 wickelt denken, in deren Coefficienten dann die Differentialquotieuten 

 von z nach x und y für x = y = ^ auftreten. Da es höchstens oo*^ 

 Flächen in der Schar giebt, so dürfen von diesen Coefficienten höch- 

 stens 6 willkürlich wählbar sein. 



*) Man wird wohl das Bedürfnis hegen, diesen invarianten Gleichungen- 

 systemen, die sich durch Nullsetzen von Determinanten der Matrix einer Gruppe 

 ergeben, einen besonderen Namen beizulegen. Hierzu empfiehlt sich die Bezeich- 

 nuDg: singulärcs Gleichungensystem. Aber im Text wollen wir diese Ausdrucks- 

 weise noch nicht anwenden. Die singulären invarianten Gleichungensysteme be- 

 stimmen im Räume der Veränderlichen der betreffenden Gruppe Mannigfaltig- 

 keiten, die wir dementsprechend singulare invariante Mannigfaltigkeiten nennen. 

 Dabei leuchtet ein, dass eine siuguläre invariante Mannigfaltigkeit in unendlich 

 viele einzeln invariante Teilgebiete zerfallen kann. Im nächsten Kapitel wollen 

 wir zur Vereinfachung des Ausdruckes die Bezeichnung: singulär in dem soeben 

 angedeuteten Sinne benutzen. 



