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712 Kapitel 22, § 5. 



Wenn aber die niedrigste Differentialgleichung von m*" Ordnung 

 ist, so sind alle niederen Differeutialquotienten von g durchaus beliebio-. 

 Da aber bis zu denen zweiter Ordnung schon 6 vorhanden sind, näm- 

 lich 2, p, q, r, s, t, so folgt, dass die niedrigste Differentialgleichung 

 von höchstens dritter Ordnung sein muss. 



^vorersfef ^^^ zunächst die Schar der Flächen, in die eine bei allen Be- 

 ordnTnr^^S'^^o®^ Übergeht, durch Jceine Differentialgleichung von niederer als 

 dritter Ordnung definiert. Alsdann sind es gerade oo*"* Flächen und 

 keine der Flächen gestattet eine infinitesimale Bewegung. Die dritten 

 Differential quotienten a, b, c, d müssen dann aber sämtlich durch die 

 niederen ausdrückbar sein, weil sonst noch einige willkürlich wären 

 die Schar also aus noch mehr als oo*^ Flächen bestände. Es existieren 

 also dann vier Differentialgleichungen dritter Ordnung. Da ihre Differen- 

 tiation nach X und y auch alle höheren Differentialquotienten durch 

 die niederen ausgedrückt giebt, so sehen wir, dass das ganze System 

 von Differentialgleichungen nur aus den vieren von dritter Ordnung 

 und den durch Differentiation aus ihnen hervorgehenden besteht, dass 

 also die vier Differentialgleichungen dritter Ordnung die Flächenschar 

 völlig bestimmen. Sie bilden ein invariantes Gleichungensystem in 

 ^» y> ^, P, 2j '^', s, t, a, h, c, d. Es wäre zunächst denkbar, dass das 

 System Gleichungen enthält, die durch Nullsetzen aller sechsreihigen 

 Determinanten der Matrix 



i- Vi li ^i ^i Qi <Si ti a; ßi yi di 

 i = l, 2. .6 



hervorgehen. Aber schon die gleich Null gesetzten Determinanten der 

 kleineren Matrix (30) liefern Relationen zwischen den ersten und 

 zweiten Differentialquotienten allein, was im vorliegenden Falle aus- 

 zuschliessen ist. Mithin ist das gesuchte invariante Gleichungensystem 

 durch vier Relationen zwischen den Differentialinvarianten zweiter und 

 dritter Ordnung herzustellen. Sie haben notwendig die Form: 



(31) Jj = cpj{R„R,) (i = l, 2, 3, 4). 



Umgekehrt definieren vier solche Differentialgleichungen auch genau 

 oo*' Flächen. 



Zwei Flächen, die nicht einer der sich nachher ergebenden be- 

 sonderen Kategorien angehören, sind also dann und nur dann con- 

 gruent, wenn bei ihnen dieselben vier Relationen (31) bestehen. 



?wcUo"r -^^ ™öge nun zweitens das System der Differentialgleichungen, 



Ordnung, die unscrc Schar congruenter Flächen darstellen, zwar Differential- 



