Congruenztheorie der Flächen. 713 



gleicJmngen zweiter Ordnung, aber keine erster Ordnung enthalten. Es 

 bilden dann — wie stets — die Differentialgleichungen niederster, 

 also hier die der zweiten Ordnung, für sich ein invariantes Gleichungen- 

 system. Es wäre nun denkbar, dass dasselbe ganz oder teilweis durch ^'f '«"^ 

 Nullsetzen der sechsreihigen Determinanten der Matrix (30) hervor- 

 ginge. Wir können diesen Fall, wenn wir weitläufige Rechnungen 

 umgehen wollen, so erledigen: 



In diesem Falle wären 2, p, q durch keine Relation gebunden. 

 Wir könnten also das betrachtete Wertsystem der x, g, 0, p, q, r, s, t 

 das ja ein krummes Flächenelement bis zu den infinitesimalen Grössen 

 zweiter Ordnung bestimmt, in der speciellen Form wählen, dass 

 x = y = 2 = und auch p == q = ist, d. h. dass das Element im 

 Anfangspunkt die {x, 2/) -Ebene berührt. Es bleiben dann als Be- 

 wegungen nur die Drehungen um die ^-Axe übrig. Es müsste also, 

 wenn eine invariante Gleichung zweiter Ordnung durch Nullsetzen der 



Determinanten hervorginge, bei der infinitesimalen Drehung y^^ — x~ 



^ ^ ox du 



das betrachtete krumme Flächenelement in Ruhe bleiben. Aber hier 

 liefert die Formel (28) wegen 8x = rj8t, dy = — xdt, ds = sofort: 



dp = qdt, dq=^—pÖt, 

 ferner kommt aus (29) 



8r = 2sdt, ds = (t — r)dt, dt = ~2sdt. 



Eine Verwechselung von t mit dem t in dt, der infinitesimalen Con- 

 stanten, ist wohl nicht zu befürchten. Wir haben also das bei der 

 infinitesimalen Transformation 



invariante krumme Flächenelement zu bestimmen, bei dem x = y = 

 = z = p == q=zQ ist. Bei ihm muss offenbar 



s = 0, r — t = 



sein. Also ist es das Flächenelement eines Nahelpimlctes. Die im vor- 

 liegenden Falle zu betrachtenden Flächen müssen also lauter Nabel- 

 punkte besitzen. Sie sind daher bekanntlich Kugeln oder Developpa- 

 beln, die den imaginären Kugelkreis enthalten. Bei letzteren aber 

 wäre die Differentialgleichung erster Ordnung 



1 -f i)^ -f g2 = 



erfüllt, von der wir jedoch nach Voraussetzung absehen müssen. Mit- 

 hin sind die hier betrachteten Flächen Kugeln. Bekanntlich ist ein Kugciu. 



