714 Kapitel 22, § 5. 



allgemeines krummes Fliichenelement {x, y, z, p, g, r, s, t) das eiues 



Nabelpunktes, sobald 



r s t 



1 -)- P^ PQ. 1 -j- 2'' 



ist. Dies sind also im vorliegenden Falle Differentialgleichungen ztveiter 

 Ordnung der Flächenschar. Ihre Differentiation liefert alle DiflFerential- 

 quotienten dritter Ordnung ausgedrückt durch die niederen. Also treten 

 keine höheren Differentialgleichungen als wesentlich neu hinzu, wohl 

 aber noch eine ztceiter Ordnung. Denn eine Kugel nimmt bei allen 

 Bewegungen nur oo^ Lagen an, da sie drei von einander unabhängige 

 infinitesimale Bewegungen gestattet. Unsere Flächenschar besteht also 

 aus nur oo^ Flächen, Lägen nur die obigen beiden Differential- 

 gleichungen zweiter Ordnung vor, so blieben 2, p, q und etwa s will- 

 kürlich, d. h. es wären oo^ Flächen vorhanden. Die also noch fehlende 

 Differentialgleichung zweiter Ordnung kann nun nicht durch Null- 

 setzen von Determinanten entstanden sein. Sie ist daher eine Relation 

 zwischen den Invarianten R^ und B^, die wegen der beiden ersten 

 Gleichungen einander gleich werden, sodass sich R^ = B^ = Const. 

 ergiebt. Die gesuchte dritte Differentialgleichung kann also symme- 

 trisch so geschrieben werden: 



B^^B.^ = Const. 



In Worten: Zwei Kugeln sind congruent, wenn ihre Krümmung die- 

 selbe ist. 



Zweiter Wir kommen ietzt zu dem Fall, dass die Flächenschar zwar auch 



rau. ... . 



durch Differentialgleichungen zweiter und höherer Ordnung und keine 



erster definiert sei, dass sich aber die Differentialgleichungen zweiter 

 Ordnung weder ganz noch teilweise durch Nullsetzen von Determinan- 

 ten der Matrix (30) ergeben. Sie müssen Relationen zwischen den 

 Differentialinvarianten i^^, B^ sein. Es kann also hier höchstens zwei 

 Differentialgleichungen zweiter Ordnung geben. 



Liegen wirklich zwei vor, so haben sie notwendig die Form 



7?j = a, B^ = &, 



in der a und h zwei Constanten bedeuten. Aber zwei solche Differen- 

 tialgleichungen zweiter Ordnung widersprechen sich, sobald nicht a = & 

 ist. a = h jedoch führt zu Bj^ = B2, d. h. wieder zu den schon be- 

 sprochenen Kugeln. 



Wenn nur eine Differentialgleichung zweiter Orduung vorliegt, so 

 hat sie die Form: 

 (32) Sl{B,,B,) = 0. 



