Congruenztheorie der Flächen. 715 



Wir kommen also zu den Weingarten'schen FläcJien*). Liegen ausserdem ^^^^^^^^^ 

 vier Differentialgleichungen dritter Ordnung vor, die notwendig die Form ^'i'^chen. 



(33) Jj = cpj{B„B.^ (i = l, 2, 3, 4) 



haben müssen **), so erhalten wir, da nur 0, p, q und zwei der Grössen 

 r, s, t beliebig bleiben, nur cx)^ Flächen. Jede dieser Flächen gestattet 

 daher nach Satz 1, § 2 dieses Kap., eine infinitesimale Bewegung. 

 Wenn umgekehrt eine Fläche gerade eine infinitesimale Bewegung ge- 

 stattet, so sind ihre Krümmungsradien durch eine Relation verknüpft 

 und es liegt dieser Fall vor. Zwei solche Flächen sind also congruent, 

 wenn bei beiden dieselben Relationen (32) und (33) bestehen. Zwei 

 der letzteren folgen durch Differentiation aus (32). 

 Sodann ist anzunehmen, dass ausser 

 iliE,, B,) = 



nur drei Differentialgleichungen dritter Ordnung vorkommen. Weniger 

 sind nicht denkbar, da sich sonst mehr als 00*' Flächen ergeben. Hier 

 giebt es dann gerade oo*' Flächen. Keine derselben gestattet also 

 eine infinitesimale Bewegung. Zwei Differentialgleichungen dritter 

 Ordnung gehen durch DiflFerentiation aus 5i = hervor. Die dritte 

 ist also eine Relation 



^(J-„ J,, J,, J„ B„ 7?,) = 0, 



die übrigens, da £1 = 0, w- = 0, ^^ = die drei Invarianten B.,, 

 J3, J^ etwa durch die übrigen auszudrücken gestatten, auch einfach 



0{J„ J,, B,)=0 



geschrieben werden kann. Differentiation giebt alle vierten Differen- 

 tialquotienten ausgedrückt durch die niederen***). 



Endlich käme der Fall, dass die Di/ferentialgleichimgen der Schar ^^^£^'^- 

 congrueuter Flächen auch welche erster Ordnung enthalten. Da nun Ordnung. 



*) Siehe Weingarten, Crelle's Journal Bd. 59. 



**) Sie können nämlich nicht durch Nullset/en ton Determinanten der Matrix 

 hervorgehen, da dies auch Differentialgleichungen zweiter Ordnung, also die schon 

 erledigten Kugeln gehen würde. 



***) Wir bemerken beiläufig: Wenn eine Differentialgleichung 



Sl{B,, B,) = 

 zu integrieren ist, so scheint es naturgemäss, zunächst solche Gleichungen 



zu suchen, dass das System ß = 0, $ = gemeinsame Integralflächen besitzt. 



