Allgemeines über die Invariantentheovio der binären Formen. 717 - 



In der Geschichte der Mathematik ist, kann man wohl sagen, die 

 von Gauss und Minding begründete, von Späteren, wie Weingarten, 

 Christoffei und Lipschitz weiter entwickelte Deformation st Jieorie das 

 erste Beispiel einer Invariantentheorie und zwar bei einer gewissen 

 unendlichen Gruppe =^-)- Auch die von Beltrami und Lame betrach- 

 teten Differentialparameter sind Differentialinvarianten von Gruppen. 



Das zweite Beispiel ist die Invariantentheorie der Formen gegen- 

 über der linearen homogenen Gruppe, die nach Vorarbeiten von Boole 

 durch Cayley begründet wurde und zu deren Aufbau namentlich 

 Sylvester, Arouhold, Hermite, Clebsch, Gordan und Hilbert 

 beigetragen haben. Diese Theorie ist nämlich, wenn man sie auf 

 allgemeine analytische Functionen bez. Gleichungen anwendet, eine 

 Theorie von Di/femj^mZinvarianten. Beschränkt man sich auf ' alge- 

 braische Gebilde, so vereinfacht sie sich allerdings zu einer luvarianten- 

 theorie der Veränderlichen einer Gruppe allein, nicht ihrer Differential- 

 quotienten. Immerhin aber sind die Differentialparameter, die in der 

 Theorie der Formen auftreten, wirkliche i)//ferew^2«Zinvarianten. 



Die nächste Invariantentheorie ist die von Lie 1872 entwickelte 

 In Varianten theorie der unendlichen Gruppe aller Berührungstransfor- 

 mationen. 



Auch die schon längst begründete Krümmung stlieorie der Curven 

 und Flächen gehört zu den Differentialinvarianten-Theorien. Wenn 

 wir sie oben nicht als Beispiel aufgezählt haben, so liegt das darin, 

 dass man sich dieser Auffassung bisher nicht bewusst gewesen ist. 

 Wir haben aber im vorigen Kapitel diese Theorie als eine solche 

 der Differentialinvarianten der Gruppe der Bewegungen vollständig 

 entwickelt. 



Im gegenwärtigen Kapitel wollen wir zunächst die Cayley'sche 

 Invariantentheorie der Formen in der gekennzeichneten Auffassung be- 

 sprechen. Dabei ist unser Hauptzweck, zu zeigen, dass dieselben 

 allgemeinen gruppentheoretischen Gesichtspunkte, von denen aus wir 

 sie behandeln, auch für andere Gruppen analoge Theorien geben. Die 

 Ergebnisse sind selbstverständlich nicht neu, aber die Form ihrer Ab- 

 leitung dürfte es teilweise sein. 



Alsdann werden wir zum Schlüsse des Kapitels für die Aufstellung 

 allgemeiner Invariantentheorien bei vorgelegter Gruppe die massgeben- 

 den Gesichtspunkte in Kürze andeuten. 



*) Siehe Lie, Über Bifferentialmvarianten. Math. Ann. Bd. 24. 



