718 Kapitel 23, § 1. 



§ 1. Allgemeines über die Invariantentheorie der binären Formen. 



Liegt eine r-gliedrige Gruppe in n Veränderlichen x^..x„ vor: 

 oci == fi{x^. .x„, e^. . Cr) {i = 1, 2 . . n) 



und giebt es eine bei der Gruppe invariante Schar von — sagen wir 

 oü"* — Mannigfaltigkeiten, so werden diese oo"* Mannigfaltigkeiten 

 durch die Transformationen Tg der Gruppe unter einander vertauscht. 

 Da die Mannigfaltigkeiten von m wesentlichen Parametern a^. . am ab- 

 hängen, finden ihre Vertauschungen bei Ausführung der Transforma- 

 tion Tg der gegebenen Gruppe ihren Ausdruck in gewissen Transfor- 

 mationen der Wertsysteme (a^ . . a™) : 



«/== tl^kia^ . . a,n, e^. .Cr) {1=1,2.. m). 



Zu jeder Transformation Tc der gegebenen Gruppe gehört eine solche 

 Transformation Sg der Parameter ai..am- Die Gleichungen der Sg 

 enthalten ausser % . . a« noch die r willkürlichen Constanten e^ . . ßr, 

 die in den endlichen Gleichungen der gegebenen Gruppe auftreten, 

 d. h. die Parameter der Gruppe, die aber nicht mit den Parametern 

 a^ . . ttm der Schar von Mannigfaltigkeiten verwechselt werden dürfen. 

 Man erkennt nun aus der begrifflichen Auffassung unmittelbar, dass mit 



TgTg' = Tg" 

 auch 



SgSg' = Sg" 



Gruppe aerjg^^ £)je Transformationen Sg . . . bilden daher eine Gruppe, die Gruppe 

 der Parameter a^. . am. (Siehe Satz 36, § 5 des 19. Kap.) 



Wir haben dies in § 1 des 10. Kap. für den Fall ausführlich 

 dargestellt, dass die gegebene Gruppe nur zwei Veränderliche enthält. 

 Aber diese Beschränkung ist bei den damaligen Betrachtungen so un- 

 wesentlich, dass wir ohne weiteres die dortigen Ergebnisse, insbeson- 

 dere die dort angegebene Methode der Berechnung der infinitesi- 

 malen Transformationen der neuen Gruppe, verallgemeinern können. 

 Wir wollen dabei ausdrücklich daran erinnern, dass die r Parameter 

 der gegebenen Gruppe in der neuen Gruppe der Parameter der Schar 

 nicht sämtlich als wesentlich aufzutreten brauchen. Die Gruppe der 

 Parameter der Schar von Mannigfaltigkeiten kann vielmehr auch iveniger 

 als r-gliedrig sein. Aber sie ist stets (meroedrisch) isomorph auf die 

 gegebene Gruppe bezogen. 



Äauivaienz Wenn es sich nun darum handelt zu entscheiden, oh und wann 



von Mannig- ' 



faltigkeiten, ^^gj Mannigfaltigheiten der betrachteten Schar vermöge einer Transforma- 

 tion der gegebenen Gruppe in einander üherführhar sind oder, wie wir 



