Allgemeines über die Invariantentheorie der binären Formen. 719 



kurz sagen, ob sie mit einander äquivalent sind, so kommt dies auf 

 ein von uns schon erledigtes Fundamentalproblem zurück. Deuten wir 

 nämlich rt^ . . a,n als Coordinaten in einem Räume B,n von m Dimen- 

 sionen, so wird jede der oo'» Mannigfaltigkeiten durch einen Punkt 

 («1 . . ttm) in diesem Räume dargestellt, und umgekehrt. Die Gruppe 

 der Parameter der Schar stellt dann eine Gruppe von (höchstens oo'") 

 Transformationen der Punkte des B,„ dar. Unsere Frage kommt 

 mithin auf die hinaus, ob und wann zwei Punkte des B,n vermöge 

 dieser Gruppe in einander überführbar sind. Um dies zu entscheiden 

 haben wir nach § 4 des 16. Kap. die kleinsten invarianten Mannig- 

 faltigkeiten in diesem R„^, denen die betreffenden Punkte angehören, 

 zu berechnen. Ein Punkt geht vermöge der Gruppe des R,„ nur in 

 Punkte der ihm zugehörigen kleinsten invarianten Mannigfaltigkeit im 

 Rni über. Einem Punkt allgemeiner Lage des R„, erteilt die Gruppe 

 der Parameter eine gewisse Anzahl von einander unabhängiger Fort- 

 schreitungsrichtungen. Für Punkte specieller Lage können sich weniger 

 ergeben. Wir finden diese Punkte bekanntlich durch Nullsetzen aller 

 Determinanten gleicher Reihenzahl der Matrix der Gruppe. Dadurch 

 werden invariante Gleichungensysteme gefunden, die wir wie schon in 

 einer Fussnote S. 711 singidär nennen wollen. Die Punkte, deren 

 Coordinaten üq, a^. . a,a diese singulären Gleichungensysteme erfüllen, 

 heissen entsprechend singulare Punkte. Jeder singulare Punkt stellt 

 eine singulare Mannigfaltigkeit in der Schar aller oo'" zu betrachtenden singulare 

 dar, d. h. eine, die mehr infinitesimale Transformationen der vor- faitSV 

 gelegten Gruppe gestattet, als die allgemeine Mannigfaltigkeit der 

 Schar. Wenn letztere gar keine infinitesimale Transformation der ge- 

 gebenen Gruppe gestattet, so gestatten die singulären mindestens eine. 

 Man sieht, dass das angeregte Problem nur eine andere Fassung 

 eines früher erledigten ist. Wir werden aber doch an einem wich- 

 tigen Beispiele zeigen, wie sich die Ausführung des entwickelten Ge- 

 dankenganges darstellt. Dabei sei noch bemerkt, dass die endlichen 

 Gleichungen der Gruppe der Parameter a^ . . «,« der invarianten Schar 

 ohne Integration direct gefunden werden können, sobald die endlichen 

 Gleichungen der vorgelegten Gruppe bekannt sind. 



Vom Standpunkt der Gruppentheorie aus bietet das in Rede 

 stehende Problem, wie gesagt, keine Schwierigkeiten dar und ist in 

 allem wesentlichen längst erledigt. Aber man kann in bezug auf die 

 auftretenden Functionen beschränkende Voraussetzungen machen und 

 dadurch unter Umständen functionentheoretischen Schwierigkeiten be- 

 gegnen. Denn wenn man allgemeine analytische Functionen zulässt, 

 ist bei allen Operationen stillschweigend immer ein solcher Bereich 



