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Kapitel 23, § 1. 



zu begrenzen, in dem sie sich regulär und eindeutig verhalten. So 

 lange man über die Functionen nichts näheres weiss, kann man auch 

 hierüber nicht hinaus gehen. Sobald aber nur gewisse Arten von 

 Functionen, etwa nur algebraische, auftreten, erhebt sich ein neues 

 rem algebraisches Problem, für die Ergebnisse im ganzen Räume B,n 

 allgemein gültige Formeln zu finden. Insbesondere stellt sich dann 

 das algebraische Problem, die den Punkten des B,n zugeordneten 

 kleinsten invarianten und irreducibelen Mannigfaltigkeiten in unzwei- 

 deutiger Weise darzustellen. 



Aber alle diese Fragen sind, obgleich sie bedeutende Schwierig- 

 keiten machen können, nicht solche, die der Gruppentheorie angehören. 



In dem in diesem und dem folgenden Paragraphen zu gebenden 

 wichtigen Beispiel nun bieten sich derartige algebraische Schwierig- 

 keiten dar. Es ist nicht unsere Sache, auf diese genauer einzugehen. 

 Vielmehr legen wir das Gewicht darauf, zu zeigen, welches die leiten- 

 den gruppentheoretischen Gesichtspunkte bei dem betreffenden Problem 

 sind oder doch sein sollten. 



"Btnilro 

 Form. 



Lin. homog. "^ij. wolleu ausgehen von der viergliedrigen linearen homogenen 

 Gruppe in zwei Veränderlichen x, y: 



(1) x' = a^x -\- ß^y , y = a^x -{- ß.^y , 



deren Determinante mit z/ bezeichnet sei: 



Wir wollen die Transformationen der Gruppe auf alle binären Formen 

 ausüben. Unter einer binären Form versteht man bekanntlich eine 

 homogene ganze rationale Function in zwei Veränderlichen x, y. Es ist 

 augenscheinlich, dass jede binäre Form bei linearer homogener Trans- 

 formation der Veränderlichen wieder in eine binäre Form übergeht. 



Man kann nach allen Transformationen m x, y fragen, die jede binäre 

 Form wieder in eine solche überführen, und deren inverse Transforma 

 tionen ebenfalls diese Eigenscbaft haben. Da a?, y selbst binäre Formen 

 sind, so sieht man leicht, dass bei einer derartigen Transformation die 

 neuen Veränderlichen x\ y binäre Formen der alten sein müssen, und um' 

 gekehrt. Dies ist aber nur dann möglich, wenn x\ y linear und homogen 

 in r», «/ sind, wie in (l). 



Die Schar aller binärer Formen ist zwar der Gruppe (1) gegen- 

 über invariant, aber sie hängt von einer unendlicheti Anzahl von Para- 

 metern ab. Doch lässt sich unser Problem der Äquivalenz binärer 

 Formen gegenüber der linearen homogenen Gruppe auf das Eingangs 

 skizzierte Problem zurückführen: 





