Allgemeines über die Invariantentheorie der binären Formen. 721 



Einerseits nämlich bemerkt man, dass eine binäre Form w*'''' Binäre 



ri 1 Form n*ön 



LiraüeS Grades. 



durch lineare homogene Transformation stets wieder in eine binäre 

 Form desselben Grades übergeht. Wir können uns deshalb auf die 

 Betrachtung der binären Formen w**"» Grades beschränken, die nur von 

 einer endlichen Anzahl von Parametern a^, a^. .an abhängen. 



Andererseits sieht man, dass die Äquivalenz von Formen q) gegen- 

 über der Gruppe (1) sich deckt mit der Äquivalenz von Gleichungen 



(p = a,x- + (i)«i«"-'2/ + (S)«2^"-'r + • • + «nr 



zwischen x, y und cp gegenüber der Gruppe in x, y, cp, die aus der 

 Gruppe (1) durch Hinzufügung von 



(p'= (p 

 hervorgeht. Wir haben also thatsächlich eine Äquivalenzfrage von 

 oo" + i Mannigfaltigkeiten im Räume der drei Coordinaten x, y, cp vor 

 uns. Damit aber haben wir genau den Ausgangspunkt dieses Para- 

 graphen erreicht. 



Zu jeder linearen homogenen Transformation (1) gehört eine 

 Transformation in a^, a^..an. Sie ist offenbar ebenfalls linear und 

 homogen. Denn, wenn die Form cp vermöge (1) in 



cp' = a,:x- + (J) a;x—^y-^ (2) «2'^'"-'^'' + • • + «n'?/'" 



übergeht, so muss umgekehrt wieder aus cp die Form cp vermöge der 

 zu (1) inversen Transformation 



hervorgehen. Setzen wir aber diese Werte x^ y \n cp ein, so kommt: 



Wenn wir hierin die Klammern ausrechnen, dann nach Potenzen von 

 X , y ordnen und gliedweise mit cp' vergleichen, so übersehen wir, 

 dass «(,', a^ . . an linear und homogen in a^, «j . . a„ sind. Zugleich 

 sehen wir, dass sich die endlichen Gleichungen der Gruppe der Para- 

 meter öq, tti . . an ohne jede Schwierigkeit ergeben. 



Deuten wir a^, % . . a« als gewöhnliche Coordinaten in einem 

 Räume Rn+i von w -|- 1 Dimensionen, so wird jede Form w*^° Grades 

 cp durch einen Punkt {a^, a, . . a„) des 22„4-i dargestellt. Zwei Formen X(iniYa.ienz 

 sind dann und nur dann gegenüber der linearen homogenen Gruppe (1) yörme^n. 

 äquivalent, wenn ihre Bildpunkte im i2„ + i durch eine Transformation 



liio, Continuierlicho Gruppen. 4G 



