722 Kapitel 23, § 1. 



der Gruppe der Parameter a^, a^- - a„ in einander überführbar sind. 

 Um dies zu entscheiden, ist nach § 4 des 16. Kap. die Zerlegung des 

 i?„+i in lauter kleinste invariante Punktmannigfaltigkeiten zu be- 

 wirken. Dazu haben wir nach Theorem 29 jenes Paragraphen die 

 Determinanten der Matrix der Gruppe der Parameter gleich Null zu 

 setzen, sowie die eventuell vorhandenen Invarianten /(a^, «^ . . a„) zu 

 berechnen, die sich, wie stets, als beliebige Functionen einer gewissen 

 endlichen Anzahl von Invarianten darstellen. Durch Nullsetzen der 

 'Determinanten der Matrix ergeben sich singulare Gebilde und zu ihnen 

 FoS!" gehören singtdäre Formen. Da eine allgemeine Form n^'^ Grades keine 

 infinitesimale lineare Transformation zulässt (sobald n>2 ist), so sind 

 diese singulären Formen als die gekennzeichnet, die bei mindestens 

 einer infinitesimalen linearen homogenen Transformation in sich über- 

 gehen. Ferner die Invarianten der Gruppe der Parameter bestimmen 

 sich, da diese Gruppe auch linear und homogen ist, aus vollständigen 

 Systemen von linearen Differentialgleichungen, deren Coefficienten in 

 «0, «1 . . «n linear und homogen sind. Aber die Lösungen eines solchen 

 Systems lassen sich bekanntlich immer bestimmen. Ihre Berechnung 

 kann nur algebraische Schwierigkeiten machen. 



Es ist dies eine Bemerkung, die für die ganze Invariantentheorie 

 der binären, ternärpn u. s. w. Formen gilt: Alle in betracht kommen- 

 den Invarianten lassen sich rein algebraisch bestimmen. 



tische Form. Fassen wir ein einfaches Beispiel ins Auge: Bei der quadratischen 

 Form 



(p = a^T" + 2a^xy + a^y^ 



lautet die Gruppe der Parameter, wie man sofort berechnet, so: 



«0 = -J, {ßi «0 — «2/^2«! + «2^«2)j 



(3) \a;= ~ (_ 2ß,ß,a^ + {a,ß^ -f a,ß,)a^ — 2a,a,a,), 



«2'= ^ (/5i'«o — a^ßj^a, + «,2^2). 



Wir können auch nach der in § 1 des 10. Kap. angegebenen 

 Methode die infinitesimalen Transformationen dieser Gruppe (3) direct 

 aus denen der Gruppe (1): 



0- ) yp xp — yq xq xp + yq 



berechnen. Wir haben danach zu setzen: 



dcp = 2(a(,xdx + a^(xdy + ydx) + a^ydy) + 

 + x'da^ + 2xyda, + y'da. 



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