Allgemeines über die Invariantentheorie der binären Formen. 723 



und hierin unter dx, 8y die Incremente bei einer der infinitesimalen ^ 

 Transformationen (T) zu verstehen. Alsdann muss 8q) für alle Werte 

 von X, y Null sein. Danach zerfällt ^^ = in drei von x, y 

 freie Gleichungen zur Bestimmung von öa^, ^a^, d^- Gehen wir z.B. 

 von yp aus, so ist dx = ydt, dy = 0, also zu setzen: 



2{aQxy + (^iy^)^t + x^dttQ + '2xyda^ + ^^<^«2 ^ ^• 



Hieraus folgt einzeln: 



^«0 = 0, da^ == — «Q, ^«2 = — 2(21 . 



In dieser Weise finden wir als infinitesimale Transformationen der 

 Gruppe (3) der Parameter diese: 



_ K^9 IL 



— 2^0 .-^ + 2^2 ^ 



'■■> K K 



Die letzte infinitesimale Transformation erteilt dem Punkte {üq, a^, a^ 

 des gewöhnlichen Raumes B^, in dem wir die quadratischen Formen 

 als Punkte abbilden, die Fortschreitung längs des Radiusvectors des 

 Punktes. Daraus folgt, dass die kleinste invariante Mannigfaltigkeit 

 eines Punktes stets den Radiusvector des Punktes enthält, also ein 

 Kegel ist. Dies wird durch die Berechnung verificiert: Die Gruppe 

 besitzt keine Invariante, da die dreireihigen Determinanten der Matrix 



— 2«! 



2^2 







— 202 



Ihr Nullsetzen liefert den in- 



«(,02 — «1^ = 



als singuläres Gebilde. Alle zweireihigen Determinanten verschwinden 

 nur für den Anfangspunkt, dessen Invarianz bekannt ist. Zwei quadra- 

 tische Formen also, die nicht durch Punkte jenes Kegels dargestellt 

 werden, sind stets in einander überführbar. Zwei solche, die durch 

 Punkte des Kegels dargestellt werden, ebenfalls. Letztere sind wegen 



«0 02* — a^ = Q die rein quadratischen Formen 0/«o^ ~f~ V%^)^* ^^^ 



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