724 Kapitel 23, § 1. 



' allen oo* linearen homogenen Transformationen nimmt eine allgemeine 

 quadratische Form nur oo^ Werte an. Sie gestattet daher eine infini- 

 tesimale lineare homogene Transformation. Dies ist übrigens auch 

 anders leicht einzusehen. Die rein quadratischen Formen gestatten 

 zwei unabhängige infinitesimale Transformationen. 



Es kommen, wie sich zeigte, nur solche kleinste invariante Mannig- 

 faltigkeiten in betracht, die aus Strahlen durch den Anfangspunkt be- 

 stehen, also durch homogene Gleichungen zwischen a^, a^, ag dar- 

 gestellt werden. Diese aber sind durch ihren Schnitt mit der unendlich 

 fernen Ebene völlig definiert. 



In der unendlich fernen Ebene sind a^, a^, a^ als homogene Coor- 

 dinaten des Punktes aufzufassen, in dem der Strahl vom Anfangspunkt 

 zum Punkt (cTq, a^, a^) des B^ diese Ebene trifft. Statt also im Räume 

 J?3 die kleinsten invarianten Mannigfaltigkeiten zu suchen, können wir 

 uns darauf beschränken, sie in der Ebene mit den homogenen Coor- 

 dinaten a^, a^, a^ aufzusuchen. Durch einen Punkt dieser Ebene 

 werden dann die Form gj sowie alle Formen X(p dargestellt, in denen 

 A ein von x, y unabhängiger beliebiger Factor ist. Die Ersetzung des 

 jRg durch die Ebene kommt also darauf hinaus, dass man Formen, die 

 sich nur um einen Zahlenfactor unterscheiden, als dieselben auffasst, 

 sodass nur noch die Verhältnisse der Parameter a^, «j, a^ in betracht 

 kommen. Nebenbei bemerken wir, dass wir der hier betrachteten 

 Gruppe schon öfters begegnet sind. 



Die vorstehenden Auseinandersetzungen gelten nun auch für 

 Formen beliebigen Grades: 



cp = «0^" + (i) «1^" ~^y ^ h ««2/"- 



Die Gruppe der Parameter «q, öj . . a„ enthält alle Transformationen, 

 die den Punkt {cIq, aj^..a„) im Bn+i niit den gewöhnlichen Coordinaten 

 Gq, a^..an längs seines Radiusvectors fortführen. Denn bei der Trans- 

 formation 



x = Xx, y = ly 



geht cp in yl~" • (p über, sodass 

 Invariante wird. Deshalb werden auch hier die Invarianten homogen von nullter 



Mannig- 

 faltigkeit Ordnung sein, die kleinsten invarianten Mannig faltigiceiten aus Strahlen 



strahlen, diirch den Anfangspunkt bestehen und durch den Schnitt mit dem un- 

 endlich fernen Räume i?„ von n Dimensionen bestimmt. Im Bn sp'ielen 



