Allgemeines über die Invariantentbeorie der biuären Formen. 725 



Oq, «1 . . ff;, die Rolle von homogenen Coordinaten. Wir beeiutrüclitigen 

 mithin die Allgemeinheit nicht, wenn tvir nur die Verhältnisse der Fara- 

 meter ff^, a^. . ff„ als icesentlich auffassen. 



Es deckt sich das Aquivaleuzproblem mit dem folgenden: Es ''^'i"^^^^'^''^ 

 wird gefragt, ob die Gleichung in x, y oieicbgu. 



(p = üqX^ + i^^a^x^'-Uj -\ f- ff^.y/" = 



durch eine lineare homogene Transformation (1) in die Gleichung iu x, y 



(p' = a^x'^ + (i)a,V«-iy'H h a^y'^ = 



überführbar ist. Da nämlich cp vermöge der fraglichen Transforma- 

 tion wieder in eine binäre Form n*°" Grades übergeht, so sind die 

 beiden Gleichungen nur dann äquivalent, wenn die beiden Formen cp 

 und (p mit einander äquivalent sind. 



Wir wollen einmal die Invarianten der Gruppe der Parameter ins j^^.'^^^^J® 

 Auge fassen, die rational sind. Jede solche wird sich als ein Quotient 

 aus zwei ganzen Functionen darstellen, die vom selben Grade homo- 

 gen sind: jj 



Da die Gruppe der Parameter linear und homogen ist, so bleibt J bei 

 einer Transformation 8 derselben in der Weise invariant, dass U wie 

 auch V sich mit einem von den Parametern üq, a^. . a^ unabhängigen 

 Factor q reproduciert: 



U'=qU, V'=qV. 



Der Factor q hängt nur von a^, ß^, a^, ß.^, den Parametern der 

 Gruppe (1), ab. Da diese in den Gleichungen der Gruppe der Para- 

 meter, also in den Ausdrücken für «(,', a^\ . a^ als Factoren in B'orm 

 von Brüchen mit den Nennern ^^ auftreten, deren Zähler vom w*^" 

 Grade in a^, ß^, a^» ß^ sind, so erkennt man, dass, wenn U vom 

 m^^^ Grade in a^, a^. . a^ ist, q eine rationale homogene Function vom 

 — nm^^^ Grade in a^, ß^, a^, ß^ mit dem Nenner ^""^ ist. 



Es giebt nun oo^ lineare homogene Transformationen, bei denen 



ist. Sie bilden eine Untergruppe, da sie sämtlich U invariant lassen. 

 Diese Gruppe hat offenbar paarweis inverse, die identische und infinite- 

 simale Transformationen. Sie enthält aber nicht alle Transformationen 



x'=lx, y = ly, 



denn bei edlen diesen kann q nicht gleich Eins bleiben, da hier 

 «1 = A, /3i = 0, a^ = 0, ß'i= 'k ist. Nach Theorem 16, § 4 des 



