Weitere Ausführungen und Beispiele. 727 



Wir bemerken dabei noch, dass sieb nach Satz 13, § 6 des 

 20. Kap., soviele von einander unabhängige Invarianten, als es über- 

 haupt giebt, stets homogen wählen lassen. Die Invarianten der spe- 

 ciellen Gruppe der Parameter sind diejenigen Functionen, die von den 

 Vertretern der Theorie der binären Formen als Invarianten bezeichnet 

 werden. Die von nullter Ordnung homogenen heissen bei ihnen ab- 

 solute Invarianten. Vom allgemeinen Standpunkt der Gruppentheorie 

 aus sind letztere die Invarianten gegenüber der allgemeinen Gruppe 

 der Parameter, 



Handelt es sich um die Äquivalenz einer Reihe von Formen ^i^i,^^^^"^ 

 g), ^ . . . mit anderen g)', ■^' . . ., so werden wir die Reihe g?, t^ . . . reiben. 

 auch schon dann mit der Reihe (p, rj/ . . . äquivalent nennen, wenn 

 eine lineare homogene Transformation existiert, die (p, ip... in X(p\ ^ifj'... 

 überführt, da wir festgesetzt haben, dass nur die Verhältnisse der 

 Coefficienten «q, a^ . . «„, &y, &j . . &,„, . . . jeder einzelnen Form in be- 

 tracht kommen sollen. Um dies Aquivalenzproblem zu behandeln, 

 haben wir üq, a^..an unter sich homogen, ebenso &o, bi..h„i unter 

 sich homogen u. s. w. anzunehmen, also die speciellen Gruppen der 

 Parameter a^, a^..an, ferner &q, 'b^..'b,n u. s.w. zu einer einzigen 

 Gruppe zusammenzufassen, deren infinitesimale Transformationen also 

 die Summen der entsprechenden infinitesimalen Transformationen der 

 einzelnen speciellen Gruppen der Parameter sind, und hinzuzufügen: 

 df , df , , cf 



u. s. w. Die Formenreihen sind äquivalent, wenn die Wertsysteme 

 («0 : a^ : . . : a„, \:h^: . .ihm, • • in die Wertsysteme (Oq :«/:..: a/^ 

 Iq :&/:..: hm, . . .) vermöge der so gebildeten Gruppe überführbar 

 sind. Wir werden dies nachher an einigen Beispielen erläutern. 



§ 2. Weitere Ausführungen und Beispiele. 



Ehe wir zu den Beispielen übergehen, wollen wir noch die »wzYMiti'ormen 



■•• o / invariant 



einer hinären Form invariant verJcnüpften Functionen besprechen. ruu^Jtüfneu 



Liegt nämlich eine Form 



<p = a^Xn + (i)«i«"~^y H f- «»r 



vor, so kann man sich nach Functionen fragen, die erstens von ihr 

 abhängig sind, d. h. also, welche die Form 



