728 Kapitel 23, § 2. 



F[^x, y, «„, a^.. rt„) 



haben, und die zweitens mit cp bei der speciellen linearen homogenen 

 Gruppe in x, y invariant verknüpft sind. Wenn, um dies deutlicher 

 auszudrücken, cp bei einer speciellen linearen homogenen Transforma- 

 tion von X, y in 



q>'= a^;x- -f {^^a;x^-hj-\ 1- a,:tj- 



übergeht, so soll gleichzeitig F in 



F' EEE F{x\ y\ a^, a/. . a„') 



übergehen. Natürlich sind diese Functionen F von besonderer Be- 

 deutung für die Theorie der binären Formen. Insbesondere pflegt man 

 in dieser Theorie solche Functionen F zu suchen, die wieder binäre 

 Formen sind. Man nennt sie dort Covarianten. Wir bemerken aber, 

 dass sie nichts anderes sind, als Invarianten. Die Functionen F 

 müssen nämlich invariant sein gegenüber der Gruppe in den « + 3 

 Veränderlichen x, y, a^, a^..an, die dadurch entsteht, dass man zu 

 den speciellen linearen homogenen Transformationen von x, y die zu- 

 gehörigen linearen homogenen Transformationen von a^, «i . . «n hinzu- 

 fügt. Dass die so entstehenden Transformationen auch eine drei- 

 gliedrige Gruppe erzeugen, ist begrifflich klar und wurde in § 1 des 

 10. Kap. in Satz 2 ausgesprochen. 



Man kann offenbar auch die mit einer Beihe von Formen (p, il^ . . , 

 invariant verJcnüpften Functionen aufsuchen. Man wird alsdann nach 

 den Invarianten der dreigliedrigen Gruppe fragen, die aus der spe- 

 ciellen linearen homogenen Gruppe in x, y hervorgeht, wenn man die 

 Transformationen der Coefficienten «„, ai..a„, ferner h^, \. .1^ u. s. w. 

 der Formen cp, ip . . . mitberücksichtigt. 



Alle diese allgemeinen gruppentheoretischen Überlegungen sollen 

 an den einfachsten Beispielen, an quadratischen, cubischen und bi- 

 quadratischen Formen erläutert werden. 



Dabei bemerken wir, dass man von vornherein gewisse diese. 

 Formen betreffende Ergebnisse ohne Rechnung angeben kann, indem 

 man die Theorie der projectiven Gruppen der Geraden benutzt. 



Eine Form nämlich: 



fp EE a^x^ -f (i)«i^"-i^ -\ h a^y^ 



stellt gleich Null gesetzt eine Gleichung n^""" Grades für ^ dar, und 

 wir wissen, dass die Äquivalenz von Formen sich mit der dieser Glei- 

 chungen deckt. Wenn wir x, y als homogene Punktcoordinaten auf der 



