Weitere Ausführungen und Beispiele. 729 



Geraden deuten, so wird die Gleichung cp = gerade n Wurzelpunkte 

 auf der Geraden haben. Sind diese gegeben, so sind auch die Ver- 

 hältnisse von ttr., a. . . ttn bekannt. In dieser Auffassun<r ist also die ^ *'o™ 



n ^^ Grades 



Form n''"" Grades durch n Punlde der Geraden dargestellt Die specielleiiurchia-kte. 

 lineare homogene Gruppe in x, y ist ferner in dieser Auffassung die dargestellt. 

 allgemeine projective Gruppe der Geraden (vgl. § 4 des 5. Kap.)- 

 Zwei Formen n^'^^ Grades sind dann und nur dann vermöge der spe- 

 ciellen linearen Gruppe einander äquivalent, wenn die n Wurzelpunkte 

 der einen durch projective Transformation der Geraden in sich in die 

 n Wurzelpunkte der anderen überführbar sind. Nach Satz 1, § 1 des 

 5. Kap., sind daher zwei lineare oder zwei quadratische oder zwei 

 cubische Formen mit getrennten Wurzelpunkten stets mit einander 

 äquivalent. Aus Satz 5 ebendaselbst folgt ferner, dass nur solche 

 Formen, die höchstens zwei getrennte Wurzelpunkte besitzen, infinite- 

 simale specielle lineare homogene Transformationen in sich gestatten. 

 Es sind dies die oben als sinqidär bezeichneten Formen. Hierher ge- singuiäro 



_ '-' Formen. 



hören alle linearen und quadratischen, ferner diejenigen cubischen 

 Formen, die einen rein quadratischen Factor enthalten: 



{lx-\- tiyfiQX + öy), 



ferner diejenigen biquadratischen, die entweder zwei rein quadratische 

 Factoren haben: 



(Aa; + ^yfiQX-i- öijY 



oder aber einen rein cubischen Factor besitzen: 



(Ix -\- nyf{QX-]r 6y) 



u. s. w. Natürlich gehören hierher auch alle Formen «*"' Grades, die 

 n*® Potenzen linearer Formen sind, also {kx-{-^yY, {Xx -\- ^yY \x. s.^Y. 

 Wir wenden uns jetzt zur Besprechung der einzelnen Formen. 

 Dabei deuten wir «y, a^ . . ö„, wie im vorigen Paragraphen auseinander- 

 gesetzt wurde, als liomogene PunMcoordinaten eines nur n-fach aus- 

 gedehnten Raumes. Dann kommen für die Aquivalenzfrage, wie gesagt, 

 nur die in a^. . «„ von nullter Ordnung homogenen Invarianten und 

 überhaupt die homogenen invarianten Gleichungensysteme in betracht. 



1. Beispiel: Quadratische Form. Quadra- 



.. _ _ _ tische Form. 



Wir haben schon das Aquivalenzproblem einer quadratischen Form 



(p ^ a^ic^ -f- ^a^xy -j- «2^^ 



besprochen. Wir recapitulieren unsere Ergebnisse kurz mit den durch 

 die Auffassung von a^, a^, a^ 3,1s homogenen Parametern gebotenen 

 Abänderungen. 



