732 Kapitel 23, § 2, 



Wenn also eine der beiden Grössen D,^, I),p nicht Null ist, so müssen 

 hl ^ij ^2 proportional a^^, a^, a^ sein. Aber diesen Fall scliliessen wir 

 natürlich aus. Es ergeben sich also keine neuen invarianten Glei- 

 chungen. Nullsetzen aller vierreihigen Determinanten giebt, wie man 

 leicht sieht, ebenfalls kein neues invariantes Gleichungensystem. Die 

 beiden quadratischen Formen (p und t^ sind durch Punkte der Ebene 

 mit den homogenen Coordinaten «„, a^, a^ bez. b^, \, b^ dargestellt. 

 J(pxp = Const. stellt eine invariante Zerlegung der Schar aller Punkt- 

 paare dar. Also folgt: Ein allgemein gewähltes System von zwei 

 quadratischen Formen ist in ein anderes solches dann und nur dann 

 überführbar, wenn J,pyj bei beiden denselben Zahlenwert hat. Geome- 

 trisch ist J,pyj leicht zu deuten. Denn die Bildpunkte von g? und ^ 

 werden ja durch die allgemeine projective Gruppe des Kegelschnittes 

 B(p = unter einander transformiert. Die Bildpunkte von 9p und ^ 

 bestimmen nun eine Gerade, die den Kegelschnitt in zwei Punkten 

 trifft. Alle vier Punkte besitzen ein augenscheinlich invariantes 

 Doppelverhältnis. Es muss also J^,^ eine Function des Doppelverhält- 

 nisses sein, welches die Bildpunkte von 95 und -^ und die Schnittpunkte 

 ihrer Geraden mit dem Kegelschnitt bestimmen. Besonderer Art sind 

 nur die Paare von Formen, von denen eine, etwa (p, rein quadratisch ist 

 {l),p = 0), oder die alle beide rein quadratisch sind (J)y = 0, Z)^ = 0). 

 Ein solches Paar ist nur, aber auch stets in ein ebensolches über- 

 führbar. 



Die mit cp und t^ invariant verknüpften Functionen sind die In- 

 varianten der Gruppe in x, y, a^, %, «2? ^0; ^1; ^2' 



yg • 

 xi^ — y(l 

 xq 



Nullsetzen giebt ein dreigliedriges vollständiges System mit 8 — 3 = 5 

 unabhängigen Lösungen. Aber wir kennen schon fünf solche, nämlich 

 (p, ip, Dip, JD^, Afpyj. Jede andere ist folglich eine Function von 

 diesen fünfen. Wir wollen dies an einem Beispiel illustrieren: Die 

 Formen cp und f sind durch Punkte der Ebene dargestellt, die der 

 projectiven Gruppe des Kegelschnittes unterworfen sind. Bei dieser 

 Gruppe ist Pol und Polare invariant verknüpft. Also ist mit den 

 beiden Punkten auch der Pol ihrer Geraden invariant verknüpft. Er 

 stellt aber wieder eine quadratische Form '0' dar. Sie ist somit in- 

 variant mit qp und ip verknüpft, und folglich eine Function von 



