734 Kapitel 23, § 2. 



unabhängige Fortschreitungsrichtuugen erfahren, so sind sie alle mit 

 einander äquivalent. Sie stellen somit oo^ cubische Formen dar, die 

 unter sich äquivalent sind. Ebenso geben die Punkte der Curve cx)i 

 cubische Formen, die nur unter sich äquivalent sind. Die besondere 

 Art dieser Formen liegt auf der Hand: Die ersteren sind die oo^ 

 cubischen Formen mit rein quadratischem Factor: 



Q^x + ^iy^^QX + ay), 

 die letzteren die oo^ rein cubischen Formen: 



{Ix + iiyf. 



Beides sind singulare Formen, die ersteren gestatten eine, die letzteren 

 zwei von einander unabhängige infinitesimale Transformationen der 

 speciellen linearen homogenen Gruppe. Wir sehen auch : R = ist 

 die Bedingung dafür, dass die cubische Gleichung cp = eine Doppel- 



criJinante ^"^^^^ ^ ^^*- Daher hcisst R die JDiscriminante der cubischen 

 Form (p. 



Um die mit einer cubischen Form invariant verknüpften Functionen 

 zu finden, bilden wir die dreigliedrige Gruppe in x, y, a^, a^, a^, a^\ 



Nullsetzen liefert ein dreigliedriges vollständiges System mit 6 — 3 = 3 

 von einander unabhängigen Lösungen. Eine ist (p, eine zweite R, 

 eine dritte folgende: 



^y = 2{(aoa2 — a/)^^ + K% — «i«2)^«/ + («i«3 — «2^)/}' 



Mit jeder cubischen JPorm ist also diese binäre Form J^ invariant ver- 

 "foS^^" knüpft. Man nennt sie die Hesse' sehe Form. Hieran knüpfen wir die 

 Bemerkung: Eine cubische Form (p mit der Hesse'schen Form z/^^O 

 kann durch die specielle Gruppe der Parameter nur in eine solche 

 cubische Form tp' übergeführt werden, deren Hesse'sche Form J^p' durch 

 diese Gruppe aus z/<^ hervorgeht, d. h. deren z/^' ebenfalls identisch Null 

 ist. Alle cubischen Formen also, deren Hesse'sche Form identisch ver- 

 schwindet, bilden für sich eine invariante Schar. Aber z/^ = stellt 

 drei Bedingungsgleichungen zwischen a^, a^, a^, % dar, von denen 

 zwei von einander unabhängig sind. Mithin haben wir hier eine in- 

 variante Schar von oo^ cubischen Formen vor uns, die mit der einzigen 



