Weitere Ansführungen und Beispiele. 



735 



derartigen Schar, die wir oben fanden, übereinstimmen muss. Daher: 

 Das identische Verschwinden von z/^ ist die Bedingung dafür, dass (p 

 ein reiner Cubus ist. 



4. Beispiel: Biquadratische Form 



<p = «0^4 + U.x'y + 6a^x^f' + 4asXt/ + a^f. 

 Die dreigliedrige Gruppe der Parameter ist hier diese: 



Biquadra- 

 tischo Form. 



(5) 





df 

 ) ^f 



2a. ^ 

 ^ ca. 



da« TS 4a 





— 4«, 



8f 



^a,^~2aj^- a,^ 

 ^da^ s^a, *aa„ 



K 



dl 

 '^da. 



Die Invarianten der Gruppe erfüllen ein dreigliedriges vollständiges 

 System in fünf Veränderlichen. Es giebt also zwei von einander un- 

 abhängige: 



i = 2{a^a^ - 4a, «3 + 3a/), 

 j = ^{aQa^a^^ — a^a^^ — a^^a^ — a^^ + 2a,a2a3), 

 deren letztere sich auch so schreiben lässt: 



(\ 1 



a, ttc 



«2 



a. 



Als von nullter Ordnung homogene Invariante geht daher die Function 



hervor. In dem Räume R^ von vier Dimensionen mit den homogenen 

 Punktcoordinaten a^ . . 

 ten Mannigfaltigkeiten 



a^ bleiben demnach die 00^ dreifach ausgedehn- 



^ ==■■ Const. 



einzeln invariant. Fügen wir zur Gruppe noch 



df . df . , df 



^«ä^ + ^^ä^ + ^' + ^^F^ 



hinzu und setzen wir dann die vierreihigen Determinanten ihrer Matrix 

 gleich Null, so ergiebt sich ein invariantes Gleichungensystem. Es 

 hat, wenn die obigen Bezeichnungen i, j sowie die folgenden später 

 wieder auftretenden Abkürzunoren 



