736 Kapitel 23, § 2. 



^0 = 2(aoa2 — «i'), ^4 = 2(a2«4 — %'), 

 dl = («^«3 — a^a^), dg = {a^a^ — a^a^), 

 3^2 == «(,«4 + Sa^ag — 3^2^ 



benutzt werden, die Form : 



(6) di^• - a,i = (/c = 0, 1, 2, 3, 4). 

 Entweder ist also 



(6') i = j = 



oder 



^ "^ Oo Ol «j Og a^ i 



Die Gleichungen (6') definieren eine invariante zweifach aus- 

 gedehnte Mannigfaltigkeit. Dasselbe thun die Gleichungen (6"), wenn 

 i und j nicht beide Null sind, denn die fünf Gleichungen (6") redu- 

 cieren sich auf nur zwei von einander unabhängige, wie man leicht 

 einsieht. Wir haben also zwei verschiedene invariante Mannigfaltig- 

 keiten von zwei Dimensionen erhalten. Dass sie wirklich verschieden 

 sind, erkennt man z. B. daraus, dass der Bildpunkt der Form x^y^ 

 zwar auf der einen (6"), nicht aber auf der anderen (6') liegt, während 

 umgekehrt für die Form x^y zwar (6') erfüllt ist, aber die d^ den a^ 

 nicht proportional sind. 



Nullsetzen aller dreireihigen Determinanten giebt 



(7) s, = 8,=d, = 8, = 8, = 0. 



Von diesen Gleichungen sind nur drei von einander unabhängig. Sie 

 stellen also eine invariante Curve dar und zwar eine Curve vierter 

 Ordnung im R^. Nullsetzen aller zweireihigen Determinanten liefert 

 nichts. Wir finden also: 



Zwei allgemein gewählte biquadratische Formen sind einander 



äquivalent, sobald bei beiden "^ denselben Wert hat. 



Besondere Formen sind nur die singulären, die entweder durch 

 die Punkte der Mannigfaltigkeit (6') oder die der Mannigfaltigkeit (6") 

 oder die der Curve (7) dargestellt werden. Solche, die den beiden 

 ersteren Arten angehören, gestatten eine, solche der letzten Art zwei 

 infinitesimale specielle lineare homogene Transformationen in sich. 

 Nach den diesen Beispielen vorausgeschickten Bemerkungen sind diese 

 singulären Formen die von den Gestalten: 



{Xx-\- iiyY {qx + 6y), {Ix + i^yf {qx -\- 6y)\ 

 {kx -f iLy)\ 



