Weitere Ausführungen und Beispiele. 737 



Die der ersten Gestalt werden durch die Punkte der Manuigfaltiglceit 

 (C) dargestellt, da z. B. x^y einen Bildpunkt auf (6') hat. Die der 

 zweiten Art, zu denen z. B. x^y'^ gehört, erfüllen (6"), die der letzten 

 Art notwendig (7). 



Die Bedingung dafür, dass die biquadratische Gleichung gp = 



eine dreifache Wurzel — habe, ist mithin i=j z=0, die Bedingung 



dafür, dass sie zwei Doppelwurzeln habe, ist, dass die 8 den a pro- 

 portional werden, die Bedingungen dafür, dass sie eine vierfache 

 Wurzel besitze, wird durch die Gleichungen (7), unter denen drei von 

 einander unabhängige sind, ausgedrückt. 



Man verniisst hierbei den Fall, dass <p = eine Doppel wurzel 

 habe. Das liegt darin, dass die Formen 



{Ix + iiyY {qx + 61J) {ax + ßy) 



keine singulären sind. Da es deren oo^ giebt und da sie nur wieder 

 mit solchen äquivalent sein können, so erfüllen ihre Bildpunkte eine 



invariante dreifach ausgedehnte Mannigfaltigkeit ^ = Const. Um den 



Wert der Constanten zu finden, brauchen wir i und j nur für eine 

 solche Form, etwa für Ä-^y(c + y), zu berechnen. Wir finden: 



t« 6 



oder: 



Dies ist also die Bedingung dafür, dass qo = eine Doppelwurzel hat. 

 Deshalb heisst R die JDiscriminante von od. Die Curve (7) der rein . '^}^- 



' ^ ' crimiuante. 



biquadratischen Formen kann in Parameterdarstellung so geschrieben 

 werden : 



«0 = f^, % = t^X, 02 = ^^^''j % = ^'^^ ^4 = ■^*- 



Ihre Tangenten erzeugen natürlich eine invariante Mannigfaltigkeit. 

 Es ist dies die der Formen mit rein cubischem Factor 



(Aa; + \iyy'{QX-\- oy), 



d. h. die Mannigfaltigkeit (6'). Denn zwei benachbarte Punkte der 

 Curve (7) stellen zwei Formen 



{Ix + ^y)\ ((A ■\-dX)x + (^ + d^)yY 



dar. Jede Form auf der durch beide Punkte bestimmten Tangente 

 ist additiv aus diesen beiden gebildet, besitzt also den Factor 

 {Xx + /i?/)l 



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