Hesse'sche 



738 Kapitel 23, §§ 2, 3. 



Wollen wir schliesslich die mit der biquadratischen Form (p in- 

 variant verknüpften Functionen finden, so haben wir die Invarianten 

 der dreigliedrigen Gruppe m x, y, a^, a^, a^, a^, a^ zu suchen, die 

 entsteht, wenn wir die infinitesimalen Transformationen (5) zu denen 

 der speciellen linearen homogenen Gruppe 



yp xp — yq xq 



addieren. Nullsetzen der infinitesimalen Transformationen giebt ein 

 dreigliedriges vollständiges System in sieben Veränderlichen, sodass 

 vier von einander unabhängige Invarianten vorhanden sind. Drei sind 

 uns schon bekannt, nämlich die Form (p selbst, sowie die früheren 

 Invarianten i und j. Eine vierte ergiebt sich in dieser Gestalt: 



J = d.x'' + 4d,x'y + 6d,x'y^ + Ad.xy' -f d^f, 

 in der d^, d^..d^ die oben eingeführten Grössen bedeuten. Es ist 

 diese mit der biquadratischen Form cp invariant verbundene ebenfalls 

 Form.''" hiquadratische Form die sogenannte Hesse'sche Form von cp. Alle bi- 

 quadratischen Formen 9p, deren Hesse'sche Form identisch Null ist, 

 bilden für sich eine invariante Schar. Nach (7) sind dies die rein 

 biquadratischen Formen. Ferner lehrt (6"), dass man die Formen 9, 

 die das Quadrat quadratischer Formen sind, auch dadurch definieren 

 kann, dass für sie (p : z/ eine von x, y freie Grösse ist. 



Wir bemerkten schon, dass die in der Theorie der binären Formen 

 auftretenden Invarianten aus vollständigen Systemen gefunden werden 

 deren Coefficienten linear und homogen in den Variabein und Para- 

 metern sind, und dass sie sich daher stets bestimmen lassen. Es folgt 

 dies andererseits auch daraus, dass uns die endlichen Gleichungen der 

 betreöenden Gruppen bekannt sind. In der Theorie der Formen 

 Symbolik, benutzt man nun eine besondere Symbolik, um die Invarianten zu be- 

 rechnen. Die Möglichkeit dieser allerdings auf das Specialgebiet be- 

 schränkten Symbolik hat den folgenden Grund: 

 Liegt etwa eine Form w*^" Grades 



<p = a^x» + (i)aia;»-if/ -| f- «„y 



vor, so deuten wir sie als Punkt eines Raumes i?„ von n Dimensionen 

 mit den homogenen Coordinaten a„, a^..a„. Die Punkte dieses Raumes 

 werden dann durch die lineare homogene Gruppe dieser Parameter 

 ÜQ, a^..an unter einander transformiert. Insbesondere werden alle 

 00^ Formen, die w*" Potenzen von linearen Formen sind: 



{Ix -J- ^ijY, 

 durch die Punkte 



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