740 Kapitel 23, § 3. 



«0, «1 . . ., &07 ^1 • • • der Formen sowie einer Anzahl von Functionen 

 0, W. . . und ihrer Differentialquotienten nach x, y, a^, a^..., \, \.,. 

 sein soll und der eine mit (p, ^ ... invariant verknüpfte Function 

 darstellt, sobald 0, W... irgend welche mit 9, ^ . . . invariant ver- 

 knüpfte Functionen bedeuten. Existieren solche Ausdrücke ß, die wir 

 Differentialparameter nennen, so fragt es sich, wie man sie methodisch 

 sämtlich bestimmen kann. 



Es giebt eine ausserordentlich grosse Anzahl von Differential- 

 parameteru. Zu ihrer Bestimmung können wir ein Verfahren ein- 

 schlagen analog dem im letzten Kapitel. Wir begnügen uns aber damit, 

 nur einige der einfacheren und wichtigeren unter diesen Differential- 

 parametern abzuleiten. 



Es möge J eine mit den Formen rp, ip . . . invariant verknüpfte 

 Function sein. Alsdann erfahren die Differentialquotienten von J ge- 

 wisse Transformationen bei der dreigliedrigen Gruppe, die aus der 

 speciellen linearen homogenen Gruppe in a;, «/ hervorgeht, wenn man 

 Transformationen der Parameter «„, a,..., \, h^... der Formen cp, ^... 

 d\?DSl°"^^^^"^^^'«i^^*^J?^- Um insbesondere die Incremente jener Differential- 

 in.arTante. q^otieuteu bei den infinitesimalen Transformationen dieser Gruppe zu 

 berechnen, gehen wir aus von der Formel: 



dJ~ J,dx + Jydy + Jaja^ -\ f- J,Jh^ -\ . 



Hierin bedeutet J mit angehängtem Index den partiellen Differential- 

 quotienten von J nach der durch den Index angegebenen Grösse. Er- 

 fahren nun bei einer infinitesimalen Transformation der Gruppe 

 X, ij, «0 . . ., \... die Incremente 8x, dy, da^..., db^, . . ., so ergiebt 

 sich, da 



ddJ~ddJ=0 



ist, weil J invariant, also dJ=0 ist, die Formel: 



(8) I ^ ^ ^'^'^^ + ^'^^^^ + '^'^«^ ^^0 H h ^A ä\ -f 



-f J.döx + Jyddy -f- Jaßöa,-\ \- J,J8\ -\- 



Diese Kelation muss für alle Werte \ou x, y, a^ . . ., \ . . . bestehen. 

 Rechnet man die Grössen ddx, ddy, dda^ . . ., ddh^ . . . aus, so er- 

 hält man rechts einen in dx, dy, da^ ..., d\... linearen und homo- 

 genen Ausdruck, dessen sämtliche Coefficienten also Null sein müssen. 

 Dies liefert die Werte von dJ,, djy, dJ^^..., dJ,^--.. Man be- 

 merkt, da dx und dy lineare homogene Functionen von x, y allein, 

 ferner Öa^... solche von a^ . . . allein u. s. w. sind, dass 8J^, dJy 

 lineare homogene Functionen von J^, Jy allein, d J«„ . . . solche von 

 Joo • • • allein u. s. w. werden. 



