DifFerentialparameter in der Invariantentheoiie der binären Formen. 741 



Wenn z. B. 



(0) da, ==^jy,jajdt {Je = 0, 1 . . ) 



wäre, so käme sofort: 



(l'O Ö^a, = -^yjIcJajdt (k = 0,1..). 



Wir wollen nun nach den Differentialparametern Si fragen, die 

 von X, y., üq . . ., &„ . . ., von einer beliebigen mit cp, ip . . . invariant 

 verknüpften Function J. sowie deren ersten partiellen Differential- "'**"*=''"*^- 



' '^ Parameter 



quotienteu J^., Jy, Ja„. . ., Jb^ • • • abhängen. Zu verlangen haben wir,"''^'' "'"''"• 

 dass Sl unter der Voraussetzung dJ = bei den infinitesimalen Trans- 

 formationen der Gruppe invariant bleibe. Es ist aber 



oil^ 2 ox -\- -1^- oy -\- r, 



ox cy '^ ' c% 



Mithin muss 5i den drei linearen partiellen Differentialgleichungen 

 genügen, die durch Nullsetzen der drei um die Incremente von 

 J, Jx, Jy, Jcio • • •; Jbo ■ • • erweiterten infinitesimalen Transformationen 

 unserer Gruppe hervorgehen. Diese Bedingung ist auch — wie man 

 zeigen könnte — hinreichend. Man kann ferner einsehen, dass diese 

 drei Differentialgleichungen ein dreigliedriges vollständiges System 

 bilden. Doch gehen wir an dieser Stelle auf den Nachweis nicht ein, 

 der sich ganz allgemein, bei beliebiger Gruppe, führen lässt. 



Die Anzahl der von einander unabhängigen Differentialparameter 

 erster Ordnung mit nur einer Invariante J ist hiernach endlich und 

 lässt sich sofort berechnen: Wenn die Form cp vom ??i*°", z/> vom 

 ^2*""^ Grade ist u. s. w. und wenn im ganzen m Formen (p, ip . . . vor- 

 liegen, so hat das vollständige System 



2 + (n, + 1) -f („, -f 1) + . . + (n,„ + 1) 



+ 3 + {n, -f 1) + («2 + 1) + • • + i^'u + 1). 

 also 



b -\- 2m-\- 22Jni 



unabhängige Veränderliche, daher giebt es 



2 -{-2m-\-2Sni 



von einander unabhängige Differentialparameter erster Ordnung mit 

 nur einer Invariante J. Von diesen ist eine grosse Anzahl frei von 

 J:c, Jy, Jao • • •, Jöo- ' ■' Alle diese von ihnen freien, die wir uneigent- 

 liche Differentialparameter nennen können und die mit cp, il) . . . in- 



