Diiferentialparameter in der Invariantentheorie der binären Formen. 743 



Wertsysteme («„ . . a„), {h^ ..&„), so sind Ä(J) und B(J) Differential- 

 parameter der Gruppe. 



Bisher haben wir nur specielle Fälle von Differentialparametern 

 besprochen. Wir können die Betrachtungen nach mehreren Rich- 

 tungen hin verallgemeinern. 



Zunächst können wir Differentialparameter suchen, die auch von ^i*^"'''^*^'''^- 



^ ' parametor 



den höheren Differentialquotienten der Invariante J abhängen. Dabei 2- ord"- 

 haben wir unsere Gruppe zu erweitern durch Hinzunahme der Trans- 

 formationen, welche die höheren Differentialquotienten von J erfahren. 

 Um die Incremente dieser höheren Differentialquotienten bei den in- 

 finitesimalen Transformationen der Gruppe zu bilden, gehen wir von 

 den Formeln aus: 



dJ:, ^ J"^,^ dx -f Jxy dy -f J^a^ tZöTo -f • • • , 



dJ,j ^ Jx,j dx -\- J,jy dy -f- Jya^ düQ + • • • , 



die wir variieren. Die erste liefert z. B.: 



ddJ^ EE dJ^^dx -}- 8J:cudy + SJ:caßa^ + • • • + 

 4- Jxxddx -\- Jxyddy -j- Jxaß^ciQ -4- • • • . 



Da uns 8Jxf 8x, dy, da^ . . . bekannt sind, so erhalten wir hieraus, 

 wenn wir alle Differentiationen ausgeführt haben, eine in dx, dy, da^ . . . 

 lineare homogene Gleichung, die für alle Werte von dx, dy, da^ . . . 

 bestehen muss. Sie liefern daher die Werte von dJ^x, äJxy, SJ^a^---. 

 Entsprechend berechnen sich die Incremente der übrigen zweiten 

 Differentialquotienten. Man übersieht, dass sie sich linear und homo- 

 gen durch die zweiten Differeutialquotienten von J ausdrücken. Die 

 gesuchten Differentialparameter zweiter Ordnung sind nun die In- 

 varianten der durch Hinzunahme der Transformationen der ersten und 

 zweiten Differentialquotienten von J erweiterten Gruppe. Der allge- 

 meinste ist demnach eine beliebige Function einer leicht zu berech- 

 nenden endlichen Anzahl von Ditferentialparametern. Sie bestimmen 

 sich wieder aus einem dreigliedrigen vollständigen System von linearen 

 partiellen Differentialgleichungen, deren Coefficienten linear und homo- 

 gen in X, y, «0 . . ., h^ . . ., J und den Differentialquotienten von 

 J sind. 



Entsprechendes gilt von den höheren Differentialparametern. Ihre 

 Berechnung bietet nur algebraische Schwierigkeiten. Die Anzahl der 

 von einander unabhängigen ist stets endlich. 



